Исследуйте функцию на экстремум: f(x) = x * ln(x) f(x) = x ^ 2 * e ^ (- x) y = 2x ^ 2 - 3x ^ 2 - 12x + 8 y = 1/3 * x ^ 2 - x ^ 2 f(x) = x - 2 * ln(x) f(x) = e ^ x + e ^ x y = 2x ^…
Исследуйте функцию на экстремум: f(x) = x * ln(x) f(x) = x ^ 2 * e ^ (- x) y = 2x ^ 2 - 3x ^ 2 - 12x + 8 y = 1/3 * x ^ 2 - x ^ 2 f(x) = x - 2 * ln(x) f(x) = e ^ x + e ^ x y = 2x ^ 3 - 9x ^ 2 + 12x - 8 y = 1/3 * x ^ 2 - 4x y = - 2x ^ 2 + x + 1
Давайте поочередно рассмотрим функции и исследуем их на наличие экстремумов. Экстремумы функции (максимумы и минимумы) можно находить с помощью производной. Мы будем искать критические точки, где производная равна нулю или не существует, и затем определим характер этих точек.
1. \( f(x) = x \ln(x) \)
Шаг 1: Найдем производную.
Используем правило произведения: \[ f'(x) = \ln(x) + 1 \] (где производная \(x\) равна 1, а производная \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\)).
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
\[ \ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e} \]
Шаг 3: Определим характер критической точки.
Для этого найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{1}{x} \] При \(x = \frac{1}{e}\), вторичная производная положительна (\(f''(\frac{1}{e}) > 0\)), следовательно, это точка минимума.
2. \( f(x) = x^2 e^{-x} \)
Шаг 1: Найдем производную.
Используем правило произведения: \[ f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) \]
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
\[ e^{-x}(2x - x^2) = 0 \] Это равно нулю, когда:
- \(e^{-x} \neq 0\) (всегда верно)
- \(2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ or } x = 2\)
Шаг 3: Определим характер критических точек.
Вторая производная: \[ f''(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 2) = e^{-x}(2 - x)(x - 2) \] Значение в точках \(x = 0\) и \(2\) показывает, что в \(x = 0\) - это максимум, а в \(x = 2\) - минимум.
3. \( y = 2x^2 - 3x^2 - 12x + 8 \)
Шаг 1: Упростим функцию. \[ y = -x^2 - 12x + 8 \]
Шаг 2: Найдем производную. \[ y' = -2x - 12 \]
Шаг 3: Найдем критические точки. \[ -2x - 12 = 0 \implies x = -6 \]
Шаг 4: Определим характер критической точки. \[ y'' = -2 \text{ (всегда отрицательно, значит это максимум.)} \]
4. \( y = \frac{1}{3} x^2 - x^2 \)
Шаг 1: Упростим функцию. \[ y = -\frac{2}{3} x^2 \]
Шаг 2: Найдем производную. \[ y' = -\frac{4}{3} x \]
Шаг 3: Найдем критические точки. \[ -\frac{4}{3} x = 0 \implies x = 0 \]
Шаг 4: Определим характер критической точки. \[ y'' = -\frac{4}{3} < 0 \text{ (это максимум.)} \]
5. \( f(x) = x - 2 \ln(x) \)
Шаг 1: Найдем производную. \[ f'(x) = 1 - \frac{2}{x} \]
Шаг 2: Найдем критические точки. \[ 1 - \frac{2}{x} = 0 \implies x = 2 \]
Шаг 3: Определим характер критической точки. \[ f''(x) = \frac{2}{x^2} > 0 \text{ (это минимум.)} \]
6. \( f(x) = e^x + e^x \)
Шаг 1: Найдем производную. \[ f'(x) = 2e^x \] Она никогда не равна нулю, следовательно, нет критических точек.
7. \( y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 \)
Шаг 1: Найдем производную. \[ y' = 6x^2 - 18x + 12 \]
Шаг 2: Найдем критические точки. \[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1, 2 \]
Шаг 3: Определим характер критических точек. Вторая производная: \[ y'' = 12x - 18 \] При \(x = 1\) это минимум, при \(x = 2\) — максимум.
8. \( y = \frac{1}{3}x^2 - 4x \)
Шаг 1: Найдем производную. \[ y' = \frac{2}{3}x - 4 \]
Шаг 2: Найдем критические точки. \[ \frac{2}{3}x - 4 = 0 \implies x = 6 \]
Шаг 3: Определим характер критической точки. \[ y'' = \frac{2}{3} > 0 \text{ (это минимум.)} \]
9. \( y = -2x^2 + x + 1 \)
Шаг 1: Найдем производную. \[ y' = -4x + 1 \]
Шаг 2: Найдем критические точки. \[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]
Шаг 3: Определим характер критической точки. \[ y'' = -4 < 0 \text{ (это максимум.)} \]
Таким образом, мы исследовали все функции на экстремумы и определили характер этих точек. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснить конкретные моменты, обращайтесь!
