Исследуйте функцию на экстремум: f(x) = x * ln(x) f(x) = x ^ 2 * e ^ (- x) y = 2x ^ 2 - 3x ^ 2 - 12x + 8 y = 1/3 * x ^ 2 - x ^ 2 f(x) = x - 2 * ln(x) f(x) = e ^ x + e ^ x y = 2x ^ 3 - 9x ^ 2 + 12x - 8 y = 1/3 * x ^ 2 - 4x y = - 2x ^ 2 + x + 1

Давайте поочередно рассмотрим функции и исследуем их на наличие экстремумов. Экстремумы функции (максимумы и минимумы) можно находить с помощью производной. Мы будем искать критические точки, где производная равна нулю или не существует, и затем определим характер этих точек. ### 1. \( f(x) = x \ln(x) \) **Шаг 1: Найдем производную.** Используем правило произведения: \[ f'(x) = \ln(x) + 1 \] (где производная \(x\) равна 1, а производная \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\)). **Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.** \[ \ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e} \] **Шаг 3: Определим характер критической точки.** Для этого найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{1}{x} \] При \(x = \frac{1}{e}\), вторичная производная положительна (\(f''(\frac{1}{e}) > 0\)), следовательно, это точка минимума. ### 2. \( f(x) = x^2 e^{-x} \) **Шаг 1: Найдем производную.** Используем правило произведения: \[ f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) \] **Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.** \[ e^{-x}(2x - x^2) = 0 \] Это равно нулю, когда: 1. \(e^{-x} \neq 0\) (всегда верно) 2. \(2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ or } x = 2\) **Шаг 3: Определим характер критических точек.** Вторая производная: \[ f''(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 2) = e^{-x}(2 - x)(x - 2) \] Значение в точках \(x = 0\) и \(2\) показывает, что в \(x = 0\) - это максимум, а в \(x = 2\) - минимум. ### 3. \( y = 2x^2 - 3x^2 - 12x + 8 \) **Шаг 1: Упростим функцию.** \[ y = -x^2 - 12x + 8 \] **Шаг 2: Найдем производную.** \[ y' = -2x - 12 \] **Шаг 3: Найдем критические точки.** \[ -2x - 12 = 0 \implies x = -6 \] **Шаг 4: Определим характер критической точки.** \[ y'' = -2 \text{ (всегда отрицательно, значит это максимум.)} \] ### 4. \( y = \frac{1}{3} x^2 - x^2 \) **Шаг 1: Упростим функцию.** \[ y = -\frac{2}{3} x^2 \] **Шаг 2: Найдем производную.** \[ y' = -\frac{4}{3} x \] **Шаг 3: Найдем критические точки.** \[ -\frac{4}{3} x = 0 \implies x = 0 \] **Шаг 4: Определим характер критической точки.** \[ y'' = -\frac{4}{3} < 0 \text{ (это максимум.)} \] ### 5. \( f(x) = x - 2 \ln(x) \) **Шаг 1: Найдем производную.** \[ f'(x) = 1 - \frac{2}{x} \] **Шаг 2: Найдем критические точки.** \[ 1 - \frac{2}{x} = 0 \implies x = 2 \] **Шаг 3: Определим характер критической точки.** \[ f''(x) = \frac{2}{x^2} > 0 \text{ (это минимум.)} \] ### 6. \( f(x) = e^x + e^x \) **Шаг 1: Найдем производную.** \[ f'(x) = 2e^x \] Она никогда не равна нулю, следовательно, нет критических точек. ### 7. \( y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 \) **Шаг 1: Найдем производную.** \[ y' = 6x^2 - 18x + 12 \] **Шаг 2: Найдем критические точки.** \[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1, 2 \] **Шаг 3: Определим характер критических точек.** Вторая производная: \[ y'' = 12x - 18 \] При \(x = 1\) это минимум, при \(x = 2\) — максимум. ### 8. \( y = \frac{1}{3}x^2 - 4x \) **Шаг 1: Найдем производную.** \[ y' = \frac{2}{3}x - 4 \] **Шаг 2: Найдем критические точки.** \[ \frac{2}{3}x - 4 = 0 \implies x = 6 \] **Шаг 3: Определим характер критической точки.** \[ y'' = \frac{2}{3} > 0 \text{ (это минимум.)} \] ### 9. \( y = -2x^2 + x + 1 \) **Шаг 1: Найдем производную.** \[ y' = -4x + 1 \] **Шаг 2: Найдем критические точки.** \[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \] **Шаг 3: Определим характер критической точки.** \[ y'' = -4 < 0 \text{ (это максимум.)} \] Таким образом, мы исследовали все функции на экстремумы и определили характер этих точек. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснить конкретные моменты, обращайтесь!