Решите неравенство 5х+4/х-3 больше 4
Чтобы решить неравенство \(\frac{5x + 4}{x - 3} > 4\), начнем с того, что перенесем 4 в левую часть:
\[ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 > 0 \]
Теперь сведем обе части к общему знаменателю:
\[ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} > 0 \]
Упростим числитель:
\[ 5x + 4 - 4x + 12 = x + 16 \]
Таким образом, неравенство принимает вид:
\[ \frac{x + 16}{x - 3} > 0 \]
Теперь определим нули числителя и знаменателя:
- Числитель равен нулю при \(x + 16 = 0\), то есть \(x = -16\).
- Знаменатель равен нулю при \(x - 3 = 0\), то есть \(x = 3\).
Теперь у нас есть два критических значения: \(x = -16\) и \(x = 3\). Эти точки разделяют числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -16) \)
- \( (-16, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь протестируем знак дроби в каждом из интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -16) \), например, возьмем \(x = -17\): \[ \frac{-17 + 16}{-17 - 3} = \frac{-1}{-20} > 0 \] Знак положителен.
Для интервала \( (-16, 3) \), например, возьмем \(x = 0\): \[ \frac{0 + 16}{0 - 3} = \frac{16}{-3} < 0 \] Знак отрицателен.
Для интервала \( (3, +\infty) \), например, возьмем \(x = 4\): \[ \frac{4 + 16}{4 - 3} = \frac{20}{1} > 0 \] Знак положителен.
Теперь мы можем записать, где неравенство выполняется:
\[ \frac{x + 16}{x - 3} > 0 \quad \text{для} \quad x \in (-\infty, -16) \cup (3, +\infty) \]
Также необходимо учитывать, что в точке \(x = 3\) выражение не определено. Таким образом, ответ:
\[ x \in (-\infty, -16) \cup (3, +\infty) \]
