Решите неравенство 5х+4/х-3 больше 4

Чтобы решить неравенство \(\frac{5x + 4}{x - 3} > 4\), начнем с того, что перенесем 4 в левую часть: \[ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 > 0 \] Теперь сведем обе части к общему знаменателю: \[ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} > 0 \] Упростим числитель: \[ 5x + 4 - 4x + 12 = x + 16 \] Таким образом, неравенство принимает вид: \[ \frac{x + 16}{x - 3} > 0 \] Теперь определим нули числителя и знаменателя: - Числитель равен нулю при \(x + 16 = 0\), то есть \(x = -16\). - Знаменатель равен нулю при \(x - 3 = 0\), то есть \(x = 3\). Теперь у нас есть два критических значения: \(x = -16\) и \(x = 3\). Эти точки разделяют числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty, -16) \) 2. \( (-16, 3) \) 3. \( (3, +\infty) \) Теперь протестируем знак дроби в каждом из интервалов. 1. Для интервала \( (-\infty, -16) \), например, возьмем \(x = -17\): \[ \frac{-17 + 16}{-17 - 3} = \frac{-1}{-20} > 0 \] Знак положителен. 2. Для интервала \( (-16, 3) \), например, возьмем \(x = 0\): \[ \frac{0 + 16}{0 - 3} = \frac{16}{-3} < 0 \] Знак отрицателен. 3. Для интервала \( (3, +\infty) \), например, возьмем \(x = 4\): \[ \frac{4 + 16}{4 - 3} = \frac{20}{1} > 0 \] Знак положителен. Теперь мы можем записать, где неравенство выполняется: \[ \frac{x + 16}{x - 3} > 0 \quad \text{для} \quad x \in (-\infty, -16) \cup (3, +\infty) \] Также необходимо учитывать, что в точке \(x = 3\) выражение не определено. Таким образом, ответ: \[ x \in (-\infty, -16) \cup (3, +\infty) \]