1.Решите графически систему уравнений: y = x ^ 2 - 4; y = x - 2
Чтобы решить графически систему уравнений:
- \( y = x^2 - 4 \) (парабола);
- \( y = x - 2 \) (прямая);
нам нужно нарисовать графики этих уравнений на одной координатной плоскости и найти их точки пересечения.
Шаг 1: Построение графика первого уравнения
1. Уравнение: \( y = x^2 - 4 \)
Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \((0, -4)\).
Для постройки графика можно вычислить значения \(y\) для различных значений \(x\):
- Если \(x = -2\), тогда \(y = (-2)^2 - 4 = 0\) → точка \((-2, 0)\).
- Если \(x = 0\), тогда \(y = 0^2 - 4 = -4\) → точка \((0, -4)\).
- Если \(x = 2\), тогда \(y = 2^2 - 4 = 0\) → точка \((2, 0)\).
Таким образом, на графике парабола будет проходить через точки \((-2, 0)\), \((0, -4)\) и \((2, 0)\).
Шаг 2: Построение графика второго уравнения
2. Уравнение: \( y = x - 2 \)
Это уравнение представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом 1 и сечением на оси Y в точке \((0, -2)\).
Для построения прямой также можно вычислить несколько значений:
- Если \(x = 0\), тогда \(y = 0 - 2 = -2\) → точка \((0, -2)\).
- Если \(x = 2\), тогда \(y = 2 - 2 = 0\) → точка \((2, 0)\).
Прямая будет проходить через точки \((0, -2)\) и \((2, 0)\).
Шаг 3: Нахождение точек пересечения
Теперь мы можем взглянуть на графики параболы и прямой. Мы уже определили, что обе функции пересекаются в точке \((2, 0)\). Также, чтобы найти все точки пересечения, можно решить систему уравнений аналитически.
Подставим \(y = x - 2\) в первое уравнение:
\[ x - 2 = x^2 - 4 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение, например, используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]
Теперь находим корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2}. \]
- \(x_1 = \frac{4}{2} = 2\)
- \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\)
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из этих \(x\):
- Для \(x = 2\): \(y = 2 - 2 = 0\) → точка \((2, 0)\).
- Для \(x = -1\): \(y = -1 - 2 = -3\) → точка \((-1, -3)\).
Итог
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
- Точка пересечения \((2, 0)\).
- Точка пересечения \((-1, -3)\).
Графически это можно изобразить, и обе точки будут точками пересечения параболы и прямой.
