Решим уравнение ( x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0 ) по шагам.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Для начала мы можем переписать уравнение для удобства. Объединим все члены в одну часть:
[
x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0 \implies x^2 + y^2 + 16y = -60
]
Шаг 2: Приведение к канонической форме
Теперь сосредоточимся на части с ( y ). Для этого мы применим метод выделения полного квадрата:
- Выразим ( y^2 + 16y ) в виде полного квадрата. Для этого нужно взять половину коэффициента при ( y ) (это 16), возвести в квадрат и добавить/вычесть его:
[
\left(\frac{16}{2}\right)^2 = 8^2 = 64
]
Теперь добавим и вычтем это значение:
[
y^2 + 16y = (y^2 + 16y + 64) - 64 = (y + 8)^2 - 64
]
Шаг 3: Подставляем обратно в уравнение
Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:
[
x^2 + (y + 8)^2 - 64 = -60
]
Добавим 64 к обеим сторонам уравнения:
[
x^2 + (y + 8)^2 = 4
]
Шаг 4: Каноническая форма окружности
Теперь у нас уравнение в канонической форме окружности:
[
x^2 + (y + 8)^2 = 4
]
Это уравнение описывает окружность с центром в точке ( (0, -8) ) и радиусом ( r = \sqrt{4} = 2 ).
Вывод
Таким образом, график уравнения ( x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0 ) представляет собой окружность с центром в точке ( (0, -8) ) и радиусом 2.
