тело совершает гармоническое колебание амплитудой 17 см, с периодом 7,22 с. Определите массу колеблющегося тела, если его максимальная энергия равна 3,24 мДж
Для решения задачи о гармонических колебаниях и нахождении массы колеблющегося тела, давайте разберемся с формулами и понятиями, которые нам понадобятся.
Параметры:
- Амплитуда (\(A\)) = 17 см = 0,17 м (переведем в метры)
- Период (\(T\)) = 7,22 с
- Максимальная энергия (\(E_{max}\)) = 3,24 мДж = \(3,24 \times 10^{-3}\) Дж (переведем в Джоули)
Формулы:
Максимальная энергия в гармонических колебаниях: \[ E_{max} = \frac{1}{2} k A^2 \] где \(k\) — жесткость пружины (или коэффициент упругости) и \(A\) — амплитуда колебаний.
Связь между жесткостью \(k\) и массой \(m\): \[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \]
Решение:
Сначала выразим жесткость \(k\) через массу \(m\) и период \(T\): \[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \]
Теперь подставим это значение в формулу для максимальной энергии: \[ E_{max} = \frac{1}{2} \left( \frac{4\pi^2 m}{T^2} \right) A^2 \] Упрощаем: \[ E_{max} = \frac{2\pi^2 m A^2}{T^2} \]
Теперь выразим массу \(m\): \[ m = \frac{E_{max} T^2}{2\pi^2 A^2} \]
Давайте подставим известные значения:
- \(E_{max} = 3,24 \times 10^{-3} \, \text{Дж}\)
- \(T = 7,22 \, \text{с}\)
- \(A = 0,17 \, \text{м}\)
Подставим значения в формулу для \(m\): \[ m = \frac{3,24 \times 10^{-3} \, \text{Дж} \cdot (7,22 \, \text{с})^2}{2\pi^2 (0,17 \, \text{м})^2} \]
Теперь давайте посчитаем:
Найдем \(T^2\): \[ T^2 = (7,22)^2 \approx 52,0484 \]
Найдем \(A^2\): \[ A^2 = (0,17)^2 = 0,0289 \]
Найдем \(\pi^2\): \[ \pi^2 \approx 9,8696 \]
Теперь подставим все в уравнение для массы: \[ m \approx \frac{3,24 \times 10^{-3} \cdot 52,0484}{2 \cdot 9,8696 \cdot 0,0289} \]
Сначала считаем числитель: \[ 3,24 \times 10^{-3} \cdot 52,0484 \approx 0,168355 \]
Теперь считаем знаменатель: \[ 2 \cdot 9,8696 \cdot 0,0289 \approx 0,570097 \]
Теперь находим массу: \[ m \approx \frac{0,168355}{0,570097} \approx 0,295 \]
Ответ:
Получаем, что масса колеблющегося тела примерно равна \(0,295 \) кг или \(295\) г.
