Для решения задачи о гармонических колебаниях и нахождении массы колеблющегося тела, давайте разберемся с формулами и понятиями, которые нам понадобятся.
Параметры:
- Амплитуда ((A)) = 17 см = 0,17 м (переведем в метры)
- Период ((T)) = 7,22 с
- Максимальная энергия ((E_{max})) = 3,24 мДж = (3,24 \times 10^{-3}) Дж (переведем в Джоули)
Формулы:
Максимальная энергия в гармонических колебаниях:
[
E_{max} = \frac{1}{2} k A^2
]
где (k) — жесткость пружины (или коэффициент упругости) и (A) — амплитуда колебаний.
Связь между жесткостью (k) и массой (m):
[
k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}
]
Решение:
Сначала выразим жесткость (k) через массу (m) и период (T):
[
k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}
]
Теперь подставим это значение в формулу для максимальной энергии:
[
E_{max} = \frac{1}{2} \left( \frac{4\pi^2 m}{T^2} \right) A^2
]
Упрощаем:
[
E_{max} = \frac{2\pi^2 m A^2}{T^2}
]
Теперь выразим массу (m):
[
m = \frac{E_{max} T^2}{2\pi^2 A^2}
]
Давайте подставим известные значения:
- (E_{max} = 3,24 \times 10^{-3} , \text{Дж})
- (T = 7,22 , \text{с})
- (A = 0,17 , \text{м})
Подставим значения в формулу для (m):
[
m = \frac{3,24 \times 10^{-3} , \text{Дж} \cdot (7,22 , \text{с})^2}{2\pi^2 (0,17 , \text{м})^2}
]
Теперь давайте посчитаем:
Найдем (T^2):
[
T^2 = (7,22)^2 \approx 52,0484
]
Найдем (A^2):
[
A^2 = (0,17)^2 = 0,0289
]
Найдем (\pi^2):
[
\pi^2 \approx 9,8696
]
Теперь подставим все в уравнение для массы:
[
m \approx \frac{3,24 \times 10^{-3} \cdot 52,0484}{2 \cdot 9,8696 \cdot 0,0289}
]
Сначала считаем числитель:
[
3,24 \times 10^{-3} \cdot 52,0484 \approx 0,168355
]
Теперь считаем знаменатель:
[
2 \cdot 9,8696 \cdot 0,0289 \approx 0,570097
]
Теперь находим массу:
[
m \approx \frac{0,168355}{0,570097} \approx 0,295
]
Ответ:
Получаем, что масса колеблющегося тела примерно равна (0,295 ) кг или (295) г.
