Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции. ( 3) 2 2 y х Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или…
Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции. ( 3) 2 2 y х Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или убывает указанная функция. 1 3 y х Задание 4. Постройте график функции, ответьте на вопрос задачи. y х 2 1 , укажите наименьшее значение функции. Задание 5. Постройте график функции, содержащей знак модуля. y х 4 1 1 Задание 6. Постройте график функции, заданной кусочно, определите, есть ли точка разрыва у данной функции: 3 , 1 , 1 2 х если х х если х у Задание 7. Определите, сколько решений имеет система уравнений, отвеет обоснуйте. 1 3 5 у х у х Задание 8. Постройте график по описанию. Область определения: [−7; 9]; Множество значений: [−6; 5]; Точки пересечения с осью Х: (- 2;0), (3;0), (7;0); Точка пересечения с осью У (0;-3); Точки максимума: (-5;5) и (5;2); Точка минимума: (1;-4); Дополнительные точки: (-7;3) и (9;-6).
Хорошо, давайте разберем каждую из этих задач по порядку.
Задание 2
Постройте график квадратичной функции: \[ y = -3x^2 + 2 \]
Шаг 1: Определяем вид функции и её свойства. Это квадратичная функция (парабола) с отрицательным коэффициентом перед \(x^2\), поэтому она будет иметь форму, направленную вниз.
Шаг 2: Находим вершину параболы. Вершина параболы задается по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \(a = -3\) и \(b = 0\). Значит, \[ x_v = -\frac{0}{-6} = 0 \]
Чтобы найти \(y\)-координату вершины: \[ y_v = -3(0)^2 + 2 = 2 \] Таким образом, вершина находится в точке \((0, 2)\).
Шаг 3: Найдем другие точки. Подставим несколько значений \(x\):
- Если \(x = 1\), то \(y = -3(1)^2 + 2 = -1\)
- Если \(x = -1\), то \(y = -3(-1)^2 + 2 = -1\)
- Если \(x = 2\), то \(y = -3(2)^2 + 2 = -10\)
- Если \(x = -2\), то \(y = -3(-2)^2 + 2 = -10\)
Шаг 4: Построим график. Отметим на графике точки \((-2, -10)\), \((-1, -1)\), \((0, 2)\), \((1, -1)\), \((2, -10)\) и соединим их, получив параболу, направленную вниз.
Шаг 5: Множество значений функции. Так как парабола направлена вниз, максимальное значение функции \(y\) будет находиться в вершине \(y_v = 2\), а минимальное значение стремится к \(-\infty\). Следовательно, множество значений: \[ M_y = (-\infty, 2] \]
Задание 3
Постройте график функции: \[ y = -x - 3 \]
Шаг 1: Определим вид функции. Это линейная функция с отрицательным коэффициентом перед \(x\), что указывает на то, что функция убывает.
Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями.
На оси \(Y\) (когда \(x = 0\)): \[ y = -0 - 3 = -3 \] Точка: \((0, -3)\)
На оси \(X\) (когда \(y = 0\)): \[ 0 = -x - 3 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3 \] Точка: \((-3, 0)\)
Шаг 3: Построим график. Соединим точки \((0, -3)\) и \((-3, 0)\) прямой линией.
Шаг 4: Определим, возрастает или убывает функция. Так как коэффициент перед \(x\) отрицательный, функция убывает.
Задание 4
Постройте график функции: \[ y = x + 2 - 1 \]
Шаг 1: Упростим функцию. \[ y = x + 1 \]
Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями.
На оси \(Y\) (при \(x = 0\)): \[ y = 0 + 1 = 1 \] Точка: \((0, 1)\)
На оси \(X\) (при \(y = 0\)): \[ 0 = x + 1 \Rightarrow x = -1 \] Точка: \((-1, 0)\)
Шаг 3: Построим график. Соединим точки \((0, 1)\) и \((-1, 0)\) прямой линией.
Шаг 4: Найдем наименьшее значение функции. Поскольку это линейная функция, значение \(y\) стремится к \(-\infty\) при убывающем \(x\). Таким образом, функции нет наименьшего значения.
Задание 5
Постройте график функции с модулем: \[ y = \frac{1}{4} |x - 1| \]
Шаг 1: Определим поведение функции. Функция с модулем \( |x - 1| \) имеет "излом" в точке \(x = 1\):
- Для \(x \geq 1\), \(y = \frac{1}{4}(x - 1)\)
- Для \(x < 1\), \(y = \frac{1}{4}(-x + 1)\)
Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями.
На оси \(Y\) (при \(x = 0\)): \[ y = \frac{1}{4}(1) = \frac{1}{4} \] Точка: \((0, \frac{1}{4})\)
На оси \(X\) (при \(y = 0\)): \[ 0 = \frac{1}{4} |x - 1| \Rightarrow |x - 1| = 0 \Rightarrow x = 1 \] Точка: \((1, 0)\)
Шаг 3: Построим график. Построим график, который будет образовывать V-образную фигуру с вершиной в точке \((1, 0)\).
Задание 6
Постройте график кусочной функции: \[ y = \begin{cases} x - 2, & x < 1 \\ -x + 1, & x \geq 1 \end{cases} \]
Шаг 1: Найдем точки для каждой части функции.
Для \(x < 1\) (например, когда \(x = 0\)): \[ y = 0 - 2 = -2 \] (точка \((0, -2)\)) Если \(x = 1\): \[ y = 1 - 2 = -1 \] (точка \((1, -1)\))
Для \(x \geq 1\) (например, когда \(x = 2\)): \[ y = -2 + 1 = -1 \] (точка \((2, -1)\))
Шаг 2: Построим график. Соединим точки \((0, -2)\) и \((1, -1)\) для первой части функции, а затем соединим точку \((1, -1)\) с точкой \((2, -1)\) для второй части.
Шаг 3: Определим точку разрыва. В точке \(x = 1\) значения функции подходят с обеих сторон, но в данной точке функции слева и справа одинаковые по \(y\). Таким образом, нет разрыва.
Задание 7
Определите, сколько решений имеет система уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 5 \\ y = -3x + 1 \end{cases} \]
Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков. Приравняем левую часть обеих уравнений: \[ x + 5 = -3x + 1 \]
Шаг 2: Решим это уравнение: \[ x + 3x = 1 - 5 \] \[ 4x = -4 \] \[ x = -1 \]
Подставим \(x\) в одно из уравнений для нахождения \(y\): \[ y = -1 + 5 = 4 \]
Шаг 3: Запишем координаты точки пересечения. Таким образом, система имеет одно решение \((-1, 4)\).
Задание 8
Постройте график по описанию.
Шаг 1: Начнем с указанных точек пересечения.
- \( (-2, 0) \)
- \( (3, 0) \)
- \( (7, 0) \)
- \( (0, -3) \)
Шаг 2: Укажем точки максимума и минимума.
- Максимумы: \( (-5, 5) \) и \( (5, 2) \)
- Минимум: \( (1, -4) \)
Шаг 3: Дополнительные точки.
- Дополнительные точки: \( (-7, 3) \) и \( (9, -6) \)
Шаг 4: Область определения и множество значений.
- Область определения: \([-7, 9]\)
- Множество значений: \([-6, 5]\)
Шаг 5: Построение графика. На графике изобразим все указанные точки, соединяя их по описанию, учитывая максимумы и минимумы.
Это общее схематическое решение задания. Если нужны конкретные графики, их можно построить на бумаге или с помощью графических приложений.
