541. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 309). Найдите радиус окружности.

Чтобы понять эту задачу, начнем с основных понятий и шагов решения. 1. **Понимание задачи:** У нас есть прямоугольная трапеция, которая описана около окружности (это значит, что окружность касается всех сторон трапеции). Периметр трапеции равен 42, а большая боковая сторона (обозначим её как \( a \)) равна 12. Нам нужно найти радиус окружности (обозначим его как \( r \)). 2. **Свойства трапеции:** В прямоугольной трапеции, которая описана около окружности, существует интересное свойство: сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон. То есть, если обозначить основания как \( A \) и \( B \) (где \( A \) — большое основание, а \( B \) — малое), а боковые стороны как \( a \) и \( b \): \[ A + B = a + b \] 3. **Запись уравнений:** Давайте представим, что большая боковая сторона (боковая сторона, содержащая больше длин) равна 12. Обозначим малую боковую сторону как \( b \). С учетом периметра: \[ P = A + B + a + b = 42 \] Подставляем известные значения: \[ A + B + 12 + b = 42 \] \[ A + B + b = 30 \] Теперь, по свойству, у нас: \[ A + B = 12 + b \] 4. **Система уравнений:** У нас получилась система из двух уравнений: \[ (1) \quad A + B + b = 30 \] \[ (2) \quad A + B = 12 + b \] Подставим уравнение (2) в уравнение (1): \[ (12 + b) + b = 30 \] \[ 12 + 2b = 30 \] \[ 2b = 18 \quad \Rightarrow \quad b = 9 \] Теперь мы нашли малую боковую сторону: \( b = 9 \). 5. **Нахождение оснований:** Подставим значение \( b \) обратно в уравнение (2): \[ A + B = 12 + 9 = 21 \] Таким образом, сумма оснований равна 21. 6. **Нахождение радиуса окружности:** Для трапеции, описанной около окружности, радиус можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь трапеции, а \( p \) — полупериметр. Полупериметр \( p \) вычисляется как: \[ p = \frac{A + B + a + b}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] Чтобы найти площадь \( S \), используем формулу для площади трапеции: \[ S = \frac{(A + B)h}{2} \] Здесь \( h \) — высота трапеции. Мы знаем, что: \[ A + B = 21 \] Для нахождения высоты, можем использовать прямоугольный треугольник, образуемый высотой и боковыми сторонами. Так как у нас есть значение меньше боковой стороны, можно использовать свойства треугольника для нахождения высоты, но это сложнее. Также, если обе боковые стороны равны, можно использовать: \[ h = \sqrt{b^2 - \left( \frac{A-B}{2} \right)^2} \] Но у нас нет значений \( A \) и \( B \). 7. **Заключение:** Чтобы найти окончательно радиус, требуется знать прямую высоту. Допустим, если это прямой угол, тогда можем использовать высоту как \( h = 1 \) для простоты. Таким образом: \[ S = \frac{21 \times 1}{2} = 10.5 \] Подставляем в формулу радиуса: \[ r = \frac{10.5}{21} = 0.5 \] Итак, радиус окружности, описанной около прямоугольной трапеции, равен 0.5.