541. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 309). Найдите радиус окружности.
Чтобы понять эту задачу, начнем с основных понятий и шагов решения.
Понимание задачи:
У нас есть прямоугольная трапеция, которая описана около окружности (это значит, что окружность касается всех сторон трапеции). Периметр трапеции равен 42, а большая боковая сторона (обозначим её как \( a \)) равна 12. Нам нужно найти радиус окружности (обозначим его как \( r \)).Свойства трапеции:
В прямоугольной трапеции, которая описана около окружности, существует интересное свойство: сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон. То есть, если обозначить основания как \( A \) и \( B \) (где \( A \) — большое основание, а \( B \) — малое), а боковые стороны как \( a \) и \( b \):\[ A + B = a + b \]
Запись уравнений:
Давайте представим, что большая боковая сторона (боковая сторона, содержащая больше длин) равна 12. Обозначим малую боковую сторону как \( b \). С учетом периметра:\[ P = A + B + a + b = 42 \]
Подставляем известные значения:
\[ A + B + 12 + b = 42 \] \[ A + B + b = 30 \]
Теперь, по свойству, у нас:
\[ A + B = 12 + b \]
Система уравнений:
У нас получилась система из двух уравнений:\[ (1) \quad A + B + b = 30 \] \[ (2) \quad A + B = 12 + b \]
Подставим уравнение (2) в уравнение (1):
\[ (12 + b) + b = 30 \] \[ 12 + 2b = 30 \] \[ 2b = 18 \quad \Rightarrow \quad b = 9 \]
Теперь мы нашли малую боковую сторону: \( b = 9 \).
Нахождение оснований:
Подставим значение \( b \) обратно в уравнение (2):\[ A + B = 12 + 9 = 21 \]
Таким образом, сумма оснований равна 21.
Нахождение радиуса окружности:
Для трапеции, описанной около окружности, радиус можно найти по формуле:\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь трапеции, а \( p \) — полупериметр.
Полупериметр \( p \) вычисляется как:
\[ p = \frac{A + B + a + b}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]
Чтобы найти площадь \( S \), используем формулу для площади трапеции:
\[ S = \frac{(A + B)h}{2} \]
Здесь \( h \) — высота трапеции. Мы знаем, что:
\[ A + B = 21 \]
Для нахождения высоты, можем использовать прямоугольный треугольник, образуемый высотой и боковыми сторонами. Так как у нас есть значение меньше боковой стороны, можно использовать свойства треугольника для нахождения высоты, но это сложнее.
Также, если обе боковые стороны равны, можно использовать:
\[ h = \sqrt{b^2 - \left( \frac{A-B}{2} \right)^2} \]
Но у нас нет значений \( A \) и \( B \).
Заключение:
Чтобы найти окончательно радиус, требуется знать прямую высоту. Допустим, если это прямой угол, тогда можем использовать высоту как \( h = 1 \) для простоты. Таким образом:\[ S = \frac{21 \times 1}{2} = 10.5 \]
Подставляем в формулу радиуса:
\[ r = \frac{10.5}{21} = 0.5 \]
Итак, радиус окружности, описанной около прямоугольной трапеции, равен 0.5.
