4sin^2x + 11sinx -3 = 0
Для решения уравнения \( 4\sin^2x + 11\sin x - 3 = 0 \) будем рассматривать \( \sin x \) как новую переменную. Это упростит задачу. Обозначим:
\[ y = \sin x \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\[ 4y^2 + 11y - 3 = 0 \]
Шаг 1: Находим корни квадратного уравнения
Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
где \( a = 4 \), \( b = 11 \), \( c = -3 \).
Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу корней:
\[ y = \frac{{-11 \pm \sqrt{169}}}{2 \cdot 4} = \frac{{-11 \pm 13}}{8} \]
Шаг 2: Находим значения \( y \)
Теперь вычислим два возможных значения \( y \):
При \( +13 \): \[ y_1 = \frac{{-11 + 13}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
При \( -13 \): \[ y_2 = \frac{{-11 - 13}}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \]
Шаг 3: Отбрасываем недопустимые значения
Поскольку \( y = \sin x \), мы знаем, что \( -1 \leq \sin x \leq 1 \). Значение \( y_2 = -3 \) недопустимо, поэтому оставляем только \( y_1 = \frac{1}{4} \).
Шаг 4: Находим \( x \) из \( \sin x = \frac{1}{4} \)
Теперь мы можем найти \( x \):
\[ \sin x = \frac{1}{4} \]
Решение этого уравнения можно записать в виде:
\[ x = \arcsin\left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Заключение
Таким образом, общее решение уравнения \( 4\sin^2x + 11\sin x - 3 = 0 \):
\[ x = \arcsin\left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Теперь вы можете использовать это решение для нахождения конкретных значений \( x \).
