Cos^2x + sinx • cosx = 1

Чтобы решить уравнение \( \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \), давайте пройдемся по нему шаг за шагом. ### Шаг 1: Применим тригонометрическую тождество Мы знаем, что \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \). Это тождество позволяет нам выразить \( \cos^2 x \) через \( \sin^2 x \). Однако в нашем уравнении уже есть \( 1 \) на правой стороне, поэтому мы можем использовать это тождество, чтобы заменить \( \cos^2 x \). ### Шаг 2: Замена в уравнении Из тождества \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) подставим в уравнение: \[ 1 - \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Сократим \( 1 \) с обеих сторон уравнения: \[ -\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \] ### Шаг 4: Перепишем уравнение Теперь можем привести уравнение к более удобному виду: \[ \sin x \cdot \cos x - \sin^2 x = 0 \] ### Шаг 5: Вынесем общий множитель Вынесем \( \sin x \) за скобки: \[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \] ### Шаг 6: Найдем возможные значения Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что один из множителей должен равняться нулю: 1. \( \sin x = 0 \) 2. \( \cos x - \sin x = 0 \) ### Шаг 7: Решаем первое уравнение Для первого случая \( \sin x = 0 \): \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 8: Решаем второе уравнение Для второго случая \( \cos x = \sin x \): Это происходит, когда \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \). ### Итоговые ответы Таким образом, решение исходного уравнения \( \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \) можно выразить следующим образом: 1. \( x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \) 2. \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \) Эти решения описывают все углы \( x \), при которых данное уравнение выполняется. Если у вас возникли вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!