cos^2x + sinx • cosx = 1

Чтобы решить уравнение \( \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \), давайте пройдемся по нему шаг за шагом.

Шаг 1: Применим тригонометрическую тождество

Мы знаем, что \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \). Это тождество позволяет нам выразить \( \cos^2 x \) через \( \sin^2 x \). Однако в нашем уравнении уже есть \( 1 \) на правой стороне, поэтому мы можем использовать это тождество, чтобы заменить \( \cos^2 x \).

Шаг 2: Замена в уравнении

Из тождества \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) подставим в уравнение:

\[ 1 - \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Сократим \( 1 \) с обеих сторон уравнения:

\[ -\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \]

Шаг 4: Перепишем уравнение

Теперь можем привести уравнение к более удобному виду:

\[ \sin x \cdot \cos x - \sin^2 x = 0 \]

Шаг 5: Вынесем общий множитель

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \]

Шаг 6: Найдем возможные значения

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что один из множителей должен равняться нулю:

1. \( \sin x = 0 \)
2. \( \cos x - \sin x = 0 \)

Шаг 7: Решаем первое уравнение

Для первого случая \( \sin x = 0 \):

\[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Шаг 8: Решаем второе уравнение

Для второго случая \( \cos x = \sin x \):

Это происходит, когда \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Итоговые ответы

Таким образом, решение исходного уравнения \( \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \) можно выразить следующим образом:

1. \( x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)
2. \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Эти решения описывают все углы \( x \), при которых данное уравнение выполняется. Если у вас возникли вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!