Для параболы, заданной функцией ( y = x^2 - 6x + 5 ), давайте последовательно определим необходимые характеристики.
а) Координаты вершины
Вершина параболы задана формулой:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
где ( a = 1 ) и ( b = -6 ). Подставим эти значения:
[
x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
]
Теперь подставим ( x = 3 ) в уравнение функции, чтобы найти координату ( y ):
[
y = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4
]
Таким образом, координаты вершины параболы: ( (3, -4) ).
б) Наименьшее (наибольшее) значение функции
Поскольку коэффициент ( a = 1 ) положителен, парабола имеет форму "U" и имеет наименьшее значение в вершине.
Наименьшее значение функции равно ( y ) в вершине, то есть ( -4 ).
в) Координаты точек пересечения с осями координат
1. Пересечение с осью ( y ):
Для нахождения точки пересечения с осью ( y ), подставим ( x = 0 ):
[
y = (0)^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5
]
Таким образом, точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 5) ).
2. Пересечение с осью ( x ):
Для нахождения точек пересечения с осью ( x ), приравняем функцию к нулю:
[
0 = x^2 - 6x + 5
]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
]
Это дает два корня:
- ( x_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{2}{2} = 1 )
Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) равны ( (5, 0) ) и ( (1, 0) ).
Результаты:
- Вершина: ( (3, -4) )
- Наименьшее значение: ( -4 )
- Пересечения с осями:
- Ось ( y ): ( (0, 5) )
- Ось ( x ): ( (5, 0) ) и ( (1, 0) )
