Давайте разберемся с вашей задачей по шагам.
Шаг 1: Определим переменные
Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника:
- Один катет — ( a ) км
- Другой катет — ( y ) км
Шаг 2: Запишем условия задачи
У нас есть два условия:
Сумма катетов:
[
a + y = 35 \quad (1)
]
Длина гипотенузы:
[
\sqrt{a^2 + y^2} = 25 \quad (2)
]
Шаг 3: Упростим условия
Сначала упростим уравнение (2). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому у нас получится:
[
a^2 + y^2 = 25^2 = 625 \quad (3)
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- ( a + y = 35 )
- ( a^2 + y^2 = 625 )
Шаг 4: Выразим одну переменную через другую
Из уравнения (1) мы можем выразить ( y ):
[
y = 35 - a \quad (4)
]
Шаг 5: Подставим (4) в (3)
Теперь подставим выражение для ( y ) из (4) в (3):
[
a^2 + (35 - a)^2 = 625
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (35^2 - 70a + a^2) = 625
]
[
a^2 + 1225 - 70a + a^2 = 625
]
[
2a^2 - 70a + 1225 - 625 = 0
]
[
2a^2 - 70a + 600 = 0
]
Шаг 6: Упростим уравнение
Делим всё на 2:
[
a^2 - 35a + 300 = 0
]
Шаг 7: Найдём дискриминант
Применим формулу для дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300
]
[
D = 1225 - 1200 = 25
]
Шаг 8: Находим корни уравнения
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm 5}{2}
]
[
a_1 = \frac{40}{2} = 20, \quad a_2 = \frac{30}{2} = 15
]
Шаг 9: Находим значения ( a ) и ( y )
Теперь найдем соответствующие значения ( y ):
Если ( a = 20 ):
[
y = 35 - 20 = 15
]
Если ( a = 15 ):
[
y = 35 - 15 = 20
]
Шаг 10: Находим площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot y
]
Подставим найденные значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = \frac{300}{2} = 150 , \text{км}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна ( 150 , \text{км}^2 ).
