Составь математическую модель по словесной: сумма катетов прямоугольного треугольника равна 35км, а его гипотенуза равна 25км. Определи площадь треугольника. Выбери подходящую…

Давайте разберемся с вашей задачей по шагам.

Шаг 1: Определим переменные

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника:

• Один катет — \( a \) км
• Другой катет — \( y \) км

Шаг 2: Запишем условия задачи

У нас есть два условия:

1. Сумма катетов: \[ a + y = 35 \quad (1) \]

2. Длина гипотенузы: \[ \sqrt{a^2 + y^2} = 25 \quad (2) \]

Шаг 3: Упростим условия

Сначала упростим уравнение (2). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому у нас получится: \[ a^2 + y^2 = 25^2 = 625 \quad (3) \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( a + y = 35 \)
2. \( a^2 + y^2 = 625 \)

Шаг 4: Выразим одну переменную через другую

Из уравнения (1) мы можем выразить \( y \): \[ y = 35 - a \quad (4) \]

Шаг 5: Подставим (4) в (3)

Теперь подставим выражение для \( y \) из (4) в (3): \[ a^2 + (35 - a)^2 = 625 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (35^2 - 70a + a^2) = 625 \] \[ a^2 + 1225 - 70a + a^2 = 625 \] \[ 2a^2 - 70a + 1225 - 625 = 0 \] \[ 2a^2 - 70a + 600 = 0 \]

Шаг 6: Упростим уравнение

Делим всё на 2: \[ a^2 - 35a + 300 = 0 \]

Шаг 7: Найдём дискриминант

Применим формулу для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D = 1225 - 1200 = 25 \]

Шаг 8: Находим корни уравнения

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm 5}{2} \] \[ a_1 = \frac{40}{2} = 20, \quad a_2 = \frac{30}{2} = 15 \]

Шаг 9: Находим значения \( a \) и \( y \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Если \( a = 20 \): \[ y = 35 - 20 = 15 \]

Если \( a = 15 \): \[ y = 35 - 15 = 20 \]

Шаг 10: Находим площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot y \] Подставим найденные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = \frac{300}{2} = 150 \, \text{км}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна \( 150 \, \text{км}^2 \).