. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 910 , 𝐴𝐵 = 60. Найдите 𝐵𝐶./
Давайте решим задачу, пошагово объясняя процесс.
Дано:
- Треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \).
- \( \cos B = \frac{9}{10} \).
- Длина стороны \( AB = 60 \).
Необходимо найти: длину стороны \( BC \).
Шаг 1: Выяснить, какие стороны есть в треугольнике. В прямоугольном треугольнике \( ABC \):
- \( AB \) - это гипотенуза (так как угол \( C \) прямой).
- \( BC \) - одна из катетов против угла \( B \).
- \( AC \) - другой катет (прилежит к углу \( B \)).
Шаг 2: Использовать определение косинуса. Косинус угла \( B \) определяется как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \] Мы знаем, что \( \cos B = \frac{9}{10} \) и \( AB = 60 \). Подставим данные в уравнение:
\[ \frac{9}{10} = \frac{AC}{60} \]
Шаг 3: Найти \( AC \). Теперь можем выразить сторону \( AC \): \[ AC = 60 \cdot \frac{9}{10} = 54 \]
Шаг 4: Найти \( BC \) с использованием теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим известные значения: \[ 60^2 = 54^2 + BC^2 \] \[ 3600 = 2916 + BC^2 \]
Шаг 5: Решить уравнение для \( BC^2 \). Вычтем \( 2916 \) из обеих сторон: \[ BC^2 = 3600 - 2916 \] \[ BC^2 = 684 \]
Теперь найдём \( BC \): \[ BC = \sqrt{684} \]
Шаг 6: Упростить окончательно. Теперь упростим корень: \[ BC = \sqrt{684} = \sqrt{4 \cdot 171} = 2\sqrt{171} \]
Ответ: Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( 2\sqrt{171} \).
Если вам нужно числовое значение, то это примерно: \[ BC \approx 26.0768 \]
Таким образом, \( BC \approx 26.1 \) (округлено до одной цифры после запятой).
