Давайте решим задачу, пошагово объясняя процесс.
Дано:
- Треугольник ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ).
- ( \cos B = \frac{9}{10} ).
- Длина стороны ( AB = 60 ).
Необходимо найти: длину стороны ( BC ).
Шаг 1: Выяснить, какие стороны есть в треугольнике.
В прямоугольном треугольнике ( ABC ):
- ( AB ) - это гипотенуза (так как угол ( C ) прямой).
- ( BC ) - одна из катетов против угла ( B ).
- ( AC ) - другой катет (прилежит к углу ( B )).
Шаг 2: Использовать определение косинуса.
Косинус угла ( B ) определяется как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе:
[
\cos B = \frac{AC}{AB}
]
Мы знаем, что ( \cos B = \frac{9}{10} ) и ( AB = 60 ). Подставим данные в уравнение:
[
\frac{9}{10} = \frac{AC}{60}
]
Шаг 3: Найти ( AC ).
Теперь можем выразить сторону ( AC ):
[
AC = 60 \cdot \frac{9}{10} = 54
]
Шаг 4: Найти ( BC ) с использованием теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
60^2 = 54^2 + BC^2
]
[
3600 = 2916 + BC^2
]
Шаг 5: Решить уравнение для ( BC^2 ).
Вычтем ( 2916 ) из обеих сторон:
[
BC^2 = 3600 - 2916
]
[
BC^2 = 684
]
Теперь найдём ( BC ):
[
BC = \sqrt{684}
]
Шаг 6: Упростить окончательно.
Теперь упростим корень:
[
BC = \sqrt{684} = \sqrt{4 \cdot 171} = 2\sqrt{171}
]
Ответ:
Таким образом, длина стороны ( BC ) равна ( 2\sqrt{171} ).
Если вам нужно числовое значение, то это примерно:
[
BC \approx 26.0768
]
Таким образом, ( BC \approx 26.1 ) (округлено до одной цифры после запятой).
