Запиши координаты точки в которую перейдёт точка А 1:0 при повороте на угол а=-7п/2+2п

Давайте решим задачу пошагово.

1. Понимание задачи: У нас есть точка \( A(1, 0) \) в декартовой системе координат, и нам нужно определить, куда переместится эта точка, если мы её повернём на угол \( \alpha = -\frac{7\pi}{2} + 2\pi \).

2. Упрощение угла поворота: Угол \( \alpha \) можно упростить. Начнём с вычисления: \[ \alpha = -\frac{7\pi}{2} + 2\pi \] Приведём \( 2\pi \) к общему знаменателю: \[ 2\pi = \frac{4\pi}{2} \] Теперь подставим это значение: \[ \alpha = -\frac{7\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{7\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \]

3. Обратный поворот: Угол \( -\frac{3\pi}{2} \) равен повороту в обратном (по часовой стрелке) направлении. Чтобы упростить вычисления, можно добавить к углу \( 2\pi \): \[ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{1\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] Таким образом, угол поворота \( \alpha \) эквивалентен \( \frac{\pi}{2} \) (поворот против часовой стрелки на 90 градусов).

4. Поворот точки: Для поворота точки на угол \(\theta\) относительно начала координат используются следующие формулы: \[ x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta) \] \[ y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta) \] Подставляем значения:

   • \( x = 1 \)
   • \( y = 0 \)
   • \( \theta = \frac{\pi}{2} \)

   Сначала найдем значения косинуса и синуса: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]

   Теперь подставим эти значения в формулы: \[ x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0 \] \[ y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \]

5. Ответ: Таким образом, после поворота на угол \( \alpha = -\frac{7\pi}{2} + 2\pi \), координаты новой точки \( A' \) будут: \[ A'(0, 1) \]

Теперь вы знаете, как выполнить поворот точки в двумерной системе координат. Если у вас будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!