Для решения этой задачи мы используем биномиальное распределение, так как стрелок имеет фиксированное количество попыток (12 выстрелов) и вероятность успеха (попадания в мишень) постоянна для каждой попытки.
Обозначим:
- ( n = 12 ) — общее количество выстрелов,
- ( k = 3 ) — количество попаданий, которое нас интересует,
- ( p = 0.6 ) — вероятность попадания в одну мишень,
- ( q = 1 - p = 0.4 ) — вероятность промаха.
Формула для нахождения вероятности ( P ) попадания ровно ( k ) раз в ( n ) выстрелах выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь подставим наши значения:
- Рассчитаем биномиальный коэффициент ( C(12, 3) ):
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}
]
Упрощаем:
[
C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220
]
- Теперь подставим значения в формулу для вероятности ( P(X = 3) ):
[
P(X = 3) = C(12, 3) \cdot p^3 \cdot q^{12-3}
]
Подставляем значения:
[
P(X = 3) = 220 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^9
]
- Рассчитаем ( (0.6)^3 ) и ( (0.4)^9 ):
[
(0.6)^3 = 0.216
]
[
(0.4)^9 = 0.000262144
]
- Теперь вычислим общую вероятность:
[
P(X = 3) = 220 \cdot 0.216 \cdot 0.000262144
]
Сначала умножим:
[
220 \cdot 0.216 = 47.52
]
Теперь:
[
P(X = 3) = 47.52 \cdot 0.000262144 \approx 0.01248
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в 3 мишени из 12 выстрелов, равна приблизительно ( 0.01248 ) или ( 1.248% ).
