Стрелок стреляет 12 раз. По 12 мишеням. Какова вероятность того, что он попадет по треым мишеням, если вероятность падения по 1 мишени 0, 6?
Для решения этой задачи мы используем биномиальное распределение, так как стрелок имеет фиксированное количество попыток (12 выстрелов) и вероятность успеха (попадания в мишень) постоянна для каждой попытки.
Обозначим:
- \( n = 12 \) — общее количество выстрелов,
- \( k = 3 \) — количество попаданий, которое нас интересует,
- \( p = 0.6 \) — вероятность попадания в одну мишень,
- \( q = 1 - p = 0.4 \) — вероятность промаха.
Формула для нахождения вероятности \( P \) попадания ровно \( k \) раз в \( n \) выстрелах выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
- Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(12, 3) \):
\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]
Упрощаем:
\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220 \]
- Теперь подставим значения в формулу для вероятности \( P(X = 3) \):
\[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot p^3 \cdot q^{12-3} \]
Подставляем значения:
\[ P(X = 3) = 220 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^9 \]
- Рассчитаем \( (0.6)^3 \) и \( (0.4)^9 \):
\[ (0.6)^3 = 0.216 \]
\[ (0.4)^9 = 0.000262144 \]
- Теперь вычислим общую вероятность:
\[ P(X = 3) = 220 \cdot 0.216 \cdot 0.000262144 \]
Сначала умножим:
\[ 220 \cdot 0.216 = 47.52 \]
Теперь:
\[ P(X = 3) = 47.52 \cdot 0.000262144 \approx 0.01248 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в 3 мишени из 12 выстрелов, равна приблизительно \( 0.01248 \) или \( 1.248\% \).
