Высота изображённого на рисунке конуса равна 24 , а объём — 800π . Чему равна образующая этого конуса?
Для решения задачи о нахождении образующей конуса, заданного высотой \( h \) и объёмом \( V \), воспользуемся следующими утверждениями и формулами.
Формула объёма конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса.
Дано:
- Высота \( h = 24 \)
- Объём \( V = 800\pi \)
Подставим известные значения в формулу объёма и найдём радиус \( r \): \[ 800\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 24 \]
Упростим уравнение: Сначала можно сократить на \( \pi \): \[ 800 = \frac{1}{3} r^2 \cdot 24 \]
Теперь умножим обе части на 3: \[ 2400 = r^2 \cdot 24 \]
А теперь разделим обе части на 24: \[ r^2 = \frac{2400}{24} = 100 \] Следовательно, радиус \( r \) равен: \[ r = \sqrt{100} = 10 \]
Теперь найдём образующую конуса \( g \). Образующая конуса рассчитывается по теореме Пифагора: \[ g = \sqrt{r^2 + h^2} \] Подставим найденные значения радиуса и высоты: \[ g = \sqrt{10^2 + 24^2} \] Посчитаем: \[ g = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \]
Таким образом, образующая этого конуса равна \( 26 \).
