Чему равна вероятность того, что случайно выбранная хорда окружности будет длиннее стороны вписанного в окружность правильного шестиугольника?

Для решения этой задачи сначала разберем основные определения и факты, связанные с окружностью и правильным шестиугольником.

Пошаговое решение

1. Правильный шестиугольник:

   • Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон и вписан в окружность. Каждый угол шестиугольника равен 120°, и каждая сторона равна радиусу окружности (обозначим радиус для удобства как R).

2. Длина стороны шестиугольника:

   • Длина одной стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна R. Таким образом, нам нужно найти вероятность того, что случайная хорда окружности будет длиннее R.

3. Длина хорды:

   • Длина произвольной хорды может быть выражена в зависимости от угла, который она образует с радиусом. Формула для длины хорды (l), которая лежит на радиусе, образующем угол θ с центром, выглядит так: \[ l = 2R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]

4. Условия для длины хорды:

   • Нам нужно, чтобы длина хорды была больше R: \[ 2R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > R \] Упростим неравенство: \[ 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 1 \] \[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > \frac{1}{2} \]
   • Решая это неравенство, получаем, что: \[ \frac{\theta}{2} > 30^{\circ} \quad \text{или} \quad \frac{\theta}{2} < 150^{\circ} \] Отсюда: \[ 60^{\circ} < \theta < 300^{\circ} \]

5. Общая длина угла:

   • Весь круг соответствует углу в 360°. Длительность тех углов θ, где хорда длиннее R, составляет \(300^{\circ} - 60^{\circ} = 240^{\circ}\).

6. Вероятность:

   • Вероятность того, что случайно выбранная хорда будет длиннее стороны шестиугольника, равна отношению углов, для которых неравенство выполняется, к общему углу в круге: \[ P = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{2}{3} \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранная хорда окружности будет длиннее стороны вписанного в окружность правильного шестиугольника, равна \( \frac{2}{3} \).