Отобрать корни на отрезке [10π; 23π2] из серий решений x=3π4+πk; x=πk, k∈Z .

Для решения задачи начнем с того, что нам необходимо отобрать корни для данной серии решений на заданном отрезке \([10\pi; 23\pi/2]\).

Понимание серий решений

У нас есть два вида решений:

1. \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\) (где \(k \in \mathbb{Z}\))
2. \(x = \pi k\) (где \(k \in \mathbb{Z}\))

Здесь \(k\) — это любое целое число.

Применение первого решения

Начнем с первой формулы:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \]

Для того чтобы найти значения \(x\) для разных \(k\), мы можем подставлять целые значения \(k\) и проверять, попадает ли результат в заданный отрезок.

Подставим разные значения \(k\):

• Для \(k = 0\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 \quad \text{(не входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.497 \quad \text{(не входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 2\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.639 \quad \text{(не входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 3\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 3 = \frac{3\pi}{4} + 3\pi = \frac{15\pi}{4} = 11.785 \quad \text{(входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 4\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 4 = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} = 14.927 \quad \text{(входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 5\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 5 = \frac{3\pi}{4} + 5\pi = \frac{23\pi}{4} = 18.07 \quad \text{(входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 6\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 6 = \frac{3\pi}{4} + 6\pi = \frac{27\pi}{4} = 21.213 \quad \text{(входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 7\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 7 = \frac{3\pi}{4} + 7\pi = \frac{31\pi}{4} = 24.356 \quad \text{(выходит за пределы отрезка)} \]

Применение второго решения

Теперь рассмотрим вторую формулу:

\[ x = \pi k \]

Так же подставляем значения \(k\):

• Для \(k = 10\): \[ x = \pi \cdot 10 = 10\pi \approx 31.416 \quad \text{(входит в отрезок)} \]

• Для \(k = 11\): \[ x = \pi \cdot 11 = 11\pi \approx 34.557 \quad \text{(выходит за пределы отрезка)} \]

При \(k < 10\) (например, \(k = 0, 1, \ldots, 9\)) значения также не будут попадать в данный отрезок, так как \(10\pi\) — это низшая граница нашего отрезка.

Подведение итогов

Таким образом, корни на отрезке \([10\pi; 23\pi/2]\):

1. Из первого решения:

   • \(x = \frac{15\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}, \frac{27\pi}{4}\)

2. Из второго решения:

   • \(x = 10\pi\)

Все найденные значения удовлетворят условиям задачи.