Отобрать корни на отрезке [10π; 23π2] из серий решений x=3π4+πk; x=πk, k∈Z .

Для решения задачи начнем с того, что нам необходимо отобрать корни для данной серии решений на заданном отрезке \([10\pi; 23\pi/2]\). ### Понимание серий решений У нас есть два вида решений: 1. \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\) (где \(k \in \mathbb{Z}\)) 2. \(x = \pi k\) (где \(k \in \mathbb{Z}\)) Здесь \(k\) — это любое целое число. ### Применение первого решения Начнем с первой формулы: \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \] Для того чтобы найти значения \(x\) для разных \(k\), мы можем подставлять целые значения \(k\) и проверять, попадает ли результат в заданный отрезок. Подставим разные значения \(k\): - Для \(k = 0\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 \quad \text{(не входит в отрезок)} \] - Для \(k = 1\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.497 \quad \text{(не входит в отрезок)} \] - Для \(k = 2\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.639 \quad \text{(не входит в отрезок)} \] - Для \(k = 3\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 3 = \frac{3\pi}{4} + 3\pi = \frac{15\pi}{4} = 11.785 \quad \text{(входит в отрезок)} \] - Для \(k = 4\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 4 = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} = 14.927 \quad \text{(входит в отрезок)} \] - Для \(k = 5\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 5 = \frac{3\pi}{4} + 5\pi = \frac{23\pi}{4} = 18.07 \quad \text{(входит в отрезок)} \] - Для \(k = 6\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 6 = \frac{3\pi}{4} + 6\pi = \frac{27\pi}{4} = 21.213 \quad \text{(входит в отрезок)} \] - Для \(k = 7\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 7 = \frac{3\pi}{4} + 7\pi = \frac{31\pi}{4} = 24.356 \quad \text{(выходит за пределы отрезка)} \] ### Применение второго решения Теперь рассмотрим вторую формулу: \[ x = \pi k \] Так же подставляем значения \(k\): - Для \(k = 10\): \[ x = \pi \cdot 10 = 10\pi \approx 31.416 \quad \text{(входит в отрезок)} \] - Для \(k = 11\): \[ x = \pi \cdot 11 = 11\pi \approx 34.557 \quad \text{(выходит за пределы отрезка)} \] При \(k < 10\) (например, \(k = 0, 1, \ldots, 9\)) значения также не будут попадать в данный отрезок, так как \(10\pi\) — это низшая граница нашего отрезка. ### Подведение итогов Таким образом, корни на отрезке \([10\pi; 23\pi/2]\): 1. **Из первого решения:** - \(x = \frac{15\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}, \frac{27\pi}{4}\) 2. **Из второго решения:** - \(x = 10\pi\) Все найденные значения удовлетворят условиям задачи.