Найди скалярное произведение векторов m → m и n → n , если вектор m → = − 3 i → − 4 j → m =−3 i −4 j ​ , а n → = 5 i → + 3 j → n =5 i +3 j ​ .

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов — это операция, которая показывает, насколько два вектора направлены в одном направлении. Для векторов в двумерном пространстве формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:

Если векторы \( \mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} \) и \( \mathbf{b} = b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} \), то их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

Теперь применим эту формулу к нашим векторам:

Даны векторы:

• \( \mathbf{m} = -3 \mathbf{i} - 4 \mathbf{j} \)
• \( \mathbf{n} = 5 \mathbf{i} + 3 \mathbf{j} \)

1. Определим компоненты векторов:

   • Для вектора \( \mathbf{m} \):
     • \( a_1 = -3 \) (коэффициент при \( \mathbf{i} \))
     • \( a_2 = -4 \) (коэффициент при \( \mathbf{j} \))
   • Для вектора \( \mathbf{n} \):
     • \( b_1 = 5 \) (коэффициент при \( \mathbf{i} \))
     • \( b_2 = 3 \) (коэффициент при \( \mathbf{j} \))

2. Подставим компоненты в формулу для скалярного произведения: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (-3) \cdot 5 + (-4) \cdot 3 \]

3. Посчитаем произведения:

   • \( (-3) \cdot 5 = -15 \)
   • \( (-4) \cdot 3 = -12 \)

4. Сложим результаты: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = -15 + (-12) = -15 - 12 = -27 \]

Итак, скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равно \(-27\).

Ответ:

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равно \(-27\).