В единичним кубе ABCDA,B,C,D, угол между примыми A1 Dи BB1,
Чтобы найти угол между прямыми \(A_1D\) и \(BB_1\) в единичном кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), сначала определим координаты всех вершин куба.
Координаты вершин единичного куба можно задать следующим образом:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(1, 0, 0)\)
- \(C(1, 1, 0)\)
- \(D(0, 1, 0)\)
- \(A_1(0, 0, 1)\)
- \(B_1(1, 0, 1)\)
- \(C_1(1, 1, 1)\)
- \(D_1(0, 1, 1)\)
Теперь найдем координаты точек для прямых \(A_1D\) и \(BB_1\):
Для прямой \(A_1D\):
- Точка \(A_1(0, 0, 1)\)
- Точка \(D(0, 1, 0)\)
Для прямой \(BB_1\):
- Точка \(B(1, 0, 0)\)
- Точка \(B_1(1, 0, 1)\)
Теперь определим направления этих прямых.
Направление прямой \(A_1D\): \[ \vec{A_1D} = D - A_1 = (0, 1, 0) - (0, 0, 1) = (0, 1, -1) \]
Направление прямой \(BB_1\): \[ \vec{BB_1} = B_1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) \]
Теперь мы имеем векторы направлений:
- \(\vec{A_1D} = (0, 1, -1)\)
- \(\vec{BB_1} = (0, 0, 1)\)
Для нахождения угла между двумя векторами используется формула: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] где \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - это два вектора, а \(\cdot\) – скалярное произведение векторов.
Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{A_1D} \cdot \vec{BB_1} = (0, 1, -1) \cdot (0, 0, 1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \]
Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \]
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь найдем угол: \[ \theta = \cos^{-1}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^\circ \]
Таким образом, угол между прямыми \(A_1D\) и \(BB_1\) равен 135°.
