MNK — равнобедренный треугольник с основанием M K = 30 MK=30 см. Какова длина вектора N R → NR в см, если N R NR — биссектриса угла N N , а боковая сторона треугольника M N K MNK…
MNK — равнобедренный треугольник с основанием M K = 30 MK=30 см. Какова длина вектора N R → NR в см, если N R NR — биссектриса угла N N, а боковая сторона треугольника M N K MNK равна 17 17 см? Запиши в поле ответа число.
Чтобы найти длину вектора \( \vec{NR} \), где \( NR \) — биссектриса угла \( N \) в равнобедренном треугольнике \( MNK \), мы можем воспользоваться теорией биссектрис в треугольниках.
Определим параметры треугольника:
- Основание \( MK = 30 \) см.
- Боковые стороны \( MN = NK = 17 \) см (так как треугольник равнобедренный).
Найдем высоту треугольника \( MNK \): Под высотой \( h \) подразумеваем перпендикуляр, опущенный из вершины \( N \) на основание \( MK \). Этот перпендикуляр делит основание пополам, так что \( x = \frac{MK}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту \( h \):
\[ MN^2 = h^2 + x^2 \]
Подставляя известные значения:
\[ 17^2 = h^2 + 15^2 \]
\[ 289 = h^2 + 225 \]
\[ h^2 = 289 - 225 \]
\[ h^2 = 64 \implies h = 8 \text{ см} \]
Найдем длину биссектрисы \( NR \): Длина биссектрисы в треугольнике может быть найдена по формуле:
\[ l = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \]
Здесь \( a = MK = 30 \) см, \( b = MN = 17 \) см, \( c = NK = 17 \) см. Угол \( A \) — это угол \( N \).
Сначала найдем косинус угла \( A \) с помощью теоремы косинусов:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \]
Подставив значения:
\[ 30^2 = 17^2 + 17^2 - 2 \cdot 17 \cdot 17 \cdot \cos A \]
\[ 900 = 289 + 289 - 578 \cdot \cos A \]
\[ 900 = 578 - 578 \cdot \cos A \]
\[ 578 \cdot \cos A = 578 - 900 \]
\[ \cos A = \frac{-322}{578} \approx -0.556 \]
Теперь можем найти \( \cos \left(\frac{A}{2}\right) \) с помощью формулы половинного угла:
\[ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 0.556}{2}} = \sqrt{\frac{0.444}{2}} = \sqrt{0.222} \approx 0.471 \]
Положим всё вместе для нахождения длины биссектрисы:
\[ l = \frac{2 \cdot 17 \cdot 17}{17 + 17} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \]
\[ l = \frac{2 \cdot 289}{34} \cdot 0.471 \approx 17 \cdot 0.471 \approx 8.0 \text{ см} \]
Таким образом, длина вектора \( \vec{NR} \) равна примерно \( 8 \) см.
Ответ: 8
