MNK — равнобедренный треугольник с основанием  M K = 30 MK=30 см. Какова длина вектора  N R → NR  в см, если  N R NR — биссектриса угла  N N, а боковая сторона треугольника  M N K MNK равна  17 17 см? Запиши в поле ответа число.

Чтобы найти длину вектора \( \vec{NR} \), где \( NR \) — биссектриса угла \( N \) в равнобедренном треугольнике \( MNK \), мы можем воспользоваться теорией биссектрис в треугольниках. 1. **Определим параметры треугольника:** - Основание \( MK = 30 \) см. - Боковые стороны \( MN = NK = 17 \) см (так как треугольник равнобедренный). 2. **Найдем высоту треугольника \( MNK \):** Под высотой \( h \) подразумеваем перпендикуляр, опущенный из вершины \( N \) на основание \( MK \). Этот перпендикуляр делит основание пополам, так что \( x = \frac{MK}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см. Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту \( h \): \[ MN^2 = h^2 + x^2 \] Подставляя известные значения: \[ 17^2 = h^2 + 15^2 \] \[ 289 = h^2 + 225 \] \[ h^2 = 289 - 225 \] \[ h^2 = 64 \implies h = 8 \text{ см} \] 3. **Найдем длину биссектрисы \( NR \):** Длина биссектрисы в треугольнике может быть найдена по формуле: \[ l = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \] Здесь \( a = MK = 30 \) см, \( b = MN = 17 \) см, \( c = NK = 17 \) см. Угол \( A \) — это угол \( N \). Сначала найдем косинус угла \( A \) с помощью теоремы косинусов: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Подставив значения: \[ 30^2 = 17^2 + 17^2 - 2 \cdot 17 \cdot 17 \cdot \cos A \] \[ 900 = 289 + 289 - 578 \cdot \cos A \] \[ 900 = 578 - 578 \cdot \cos A \] \[ 578 \cdot \cos A = 578 - 900 \] \[ \cos A = \frac{-322}{578} \approx -0.556 \] Теперь можем найти \( \cos \left(\frac{A}{2}\right) \) с помощью формулы половинного угла: \[ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 0.556}{2}} = \sqrt{\frac{0.444}{2}} = \sqrt{0.222} \approx 0.471 \] 4. **Положим всё вместе для нахождения длины биссектрисы:** \[ l = \frac{2 \cdot 17 \cdot 17}{17 + 17} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \] \[ l = \frac{2 \cdot 289}{34} \cdot 0.471 \approx 17 \cdot 0.471 \approx 8.0 \text{ см} \] Таким образом, длина вектора \( \vec{NR} \) равна примерно \( 8 \) см. **Ответ:** 8