Вычислить: sin(а - в), если cosa= 3/5, 3π/2 < α < 2π; π < β < 2 3π/ 2 , cosß= 7/25

Чтобы вычислить \(\sin(a - b)\), воспользуемся формулой: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Сначала найдем \(\sin a\) и \(\sin b\), используя заданные значения \(\cos a\) и \(\cos b\). ### Шаг 1: Найдем \(\sin a\) Дано, что \(\cos a = \frac{3}{5}\), и знаем, что угол \(\alpha\) находится в четвертой четверти (где синус отрицателен). Для нахождения \(\sin a\) используем основной тригонометрический квадрат: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим \(\cos a\): \[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \quad (\text{так как } \alpha \text{ во } IV \text{ четверти}) \] Теперь мы знаем, что \(\sin a = -\frac{4}{5}\) и \(\cos a = \frac{3}{5}\). ### Шаг 2: Найдем \(\sin b\) Дано, что \(\cos \beta = \frac{7}{25}\) и угол \(\beta\) находится в третьей четверти (где синус отрицателен). Находим \(\sin b\) аналогично: \[ \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \] Подставив \(\cos b\): \[ \sin^2 b + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 b + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 b = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \] \[ \sin b = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \quad (\text{так как } \beta \text{ во } III \text{ четверти}) \] Теперь у нас есть: - \(\sin a = -\frac{4}{5}\) - \(\cos a = \frac{3}{5}\) - \(\sin b = -\frac{24}{25}\) - \(\cos b = \frac{7}{25}\) ### Шаг 3: Подставим в формулу Теперь подставляем все найденные значения в формулу: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Подставим значения: \[ \sin(a - b) = \left(-\frac{4}{5}\right) \left(\frac{7}{25}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{24}{25}\right) \] \[ = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125} \] \[ = \frac{-28 + 72}{125} = \frac{44}{125} \] ### Ответ Таким образом, \[ \sin(a - b) = \frac{44}{125} \]