Вычислить: sin(а - в), если cosa= 3/5, 3π/2 < α < 2π; π < β < 2 3π/ 2 , cosß= 7/25

Чтобы вычислить \(\sin(a - b)\), воспользуемся формулой:

\[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \]

Сначала найдем \(\sin a\) и \(\sin b\), используя заданные значения \(\cos a\) и \(\cos b\).

Шаг 1: Найдем \(\sin a\)

Дано, что \(\cos a = \frac{3}{5}\), и знаем, что угол \(\alpha\) находится в четвертой четверти (где синус отрицателен). Для нахождения \(\sin a\) используем основной тригонометрический квадрат:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим \(\cos a\):

\[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \quad (\text{так как } \alpha \text{ во } IV \text{ четверти}) \]

Теперь мы знаем, что \(\sin a = -\frac{4}{5}\) и \(\cos a = \frac{3}{5}\).

Шаг 2: Найдем \(\sin b\)

Дано, что \(\cos \beta = \frac{7}{25}\) и угол \(\beta\) находится в третьей четверти (где синус отрицателен). Находим \(\sin b\) аналогично:

\[ \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \]

Подставив \(\cos b\):

\[ \sin^2 b + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 b + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 b = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \] \[ \sin b = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \quad (\text{так как } \beta \text{ во } III \text{ четверти}) \]

Теперь у нас есть:

• \(\sin a = -\frac{4}{5}\)
• \(\cos a = \frac{3}{5}\)
• \(\sin b = -\frac{24}{25}\)
• \(\cos b = \frac{7}{25}\)

Шаг 3: Подставим в формулу

Теперь подставляем все найденные значения в формулу:

\[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \]

Подставим значения:

\[ \sin(a - b) = \left(-\frac{4}{5}\right) \left(\frac{7}{25}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{24}{25}\right) \] \[ = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125} \] \[ = \frac{-28 + 72}{125} = \frac{44}{125} \]

Ответ

Таким образом,

\[ \sin(a - b) = \frac{44}{125} \]