Дроби будут противоположными числами, когда их значения равны, но с противоположными знаками. Для уравнения 8/z² + 8 = -(7/11 - 2z²) нужно найти значение z, при котором это…

Чтобы решить уравнение \( \frac{8}{z^2} + 8 = -\left(\frac{7}{11} - 2z^2\right) \), следуем пошагово:

Шаг 1: Упростим уравнение

Начнем с того, что упростим выражение в правой части уравнения и приведем все к одной форме:

\[ \frac{8}{z^2} + 8 = -\frac{7}{11} + 2z^2 \]

Теперь переместим все terms, содержащие \( z^2 \), в одну сторону уравнения:

\[ \frac{8}{z^2} + 8 + \frac{7}{11} = 2z^2 \]

Шаг 2: Умножим на \( z^2 \)

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на \( z^2 \):

\[ 8 + 8z^2 + \frac{7z^2}{11} = 2z^4 \]

Шаг 3: Приведём к общему знаменателю

Теперь у нас есть дробь \( \frac{7z^2}{11} \). Для удобства мы можем привести к общему знаменателю (в данном случае 11):

\[ \frac{8 \cdot 11}{11} + \frac{8z^2 \cdot 11}{11} + \frac{7z^2}{11} = 2z^4 \]

Это даёт:

\[ \frac{88 + 88z^2 + 7z^2}{11} = 2z^4 \]

Теперь умножим обе стороны на 11, чтобы избавиться от дроби:

\[ 88 + 95z^2 = 22z^4 \]

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Соберем все члены в одной стороне:

\[ 22z^4 - 95z^2 - 88 = 0 \]

Шаг 5: Замена переменной

Заметим, что уравнение четвёртой степени можно решить с помощью замены переменной. Обозначим \( u = z^2 \):

\[ 22u^2 - 95u - 88 = 0 \]

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение по формуле \( u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где:

• \( a = 22 \)
• \( b = -95 \)
• \( c = -88 \)

Сначала найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-95)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-88) \]

\[ D = 9025 + 7744 = 16769 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ u = \frac{95 \pm \sqrt{16769}}{2 \cdot 22} \]

Выясняем, что \( \sqrt{16769} = 129 \):

\[ u = \frac{95 \pm 129}{44} \]

Решим это:

1. \( u_1 = \frac{95 + 129}{44} = \frac{224}{44} = 5.09 \)
2. \( u_2 = \frac{95 - 129}{44} = \frac{-34}{44} = -0.77 \)

У нас есть два значения для \( u \): \( u_1 \) — положительное и \( u_2 \) — отрицательное. Поскольку \( u = z^2 \), мы можем откинуть отрицательное:

Шаг 7: Подставляем обратно и находим \( z \)

Теперь возьмем только положительное значение:

\[ z^2 = 5.09 \]

Следовательно, \( z = \sqrt{5.09} \) или \( z = -\sqrt{5.09} \). Это даст нам два значения для \( z \):

\[ z \approx 2.26 \quad \text{и} \quad z \approx -2.26 \]

Ответ

Значения \( z \), при которых дроби являются противоположными, составляют:

\[ z \approx 2.26 \quad \text{и} \quad z \approx -2.26 \]

Таким образом, мы нашли необходимые значения \( z \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить какие-то моменты — спрашивайте!