у=х²+3 у-2х=3 реши аналитическим и графическим способом
Чтобы решить систему уравнений:
- \( y = x^2 + 3 \)
- \( y - 2x = 3 \)
мы сделаем это аналитически и графически.
Аналитический способ
Шаг 1: Подставим одно уравнение в другое
Мы можем выразить \( y \) из второго уравнения:
\[ y = 2x + 3 \]
Теперь у нас есть две версии уравнения для \( y \):
- \( y = x^2 + 3 \)
- \( y = 2x + 3 \)
Шаг 2: Приравняем два уравнения
Теперь мы можем приравнять правые части:
\[ x^2 + 3 = 2x + 3 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Чтобы избавиться от 3, вычтем 3 с обеих сторон:
\[ x^2 = 2x \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь переместим все на одну сторону:
\[ x^2 - 2x = 0 \]
Шаг 5: Выделим общий множитель
Факторизуем полученное выражение:
\[ x(x - 2) = 0 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Это уравнение имеет два корня:
\[ x = 0 \quad или \quad x = 2 \]
Шаг 7: Найдем соответствующие значения \( y \)
Теперь подставим эти \( x \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( y \). Используем \( y = 2x + 3 \):
- Для \( x = 0 \):
\[ y = 2(0) + 3 = 3 \]
- Для \( x = 2 \):
\[ y = 2(2) + 3 = 7 \]
Таким образом, у нас есть две точки пересечения:
\[ (0, 3) \quad и \quad (2, 7) \]
Графический способ
Шаг 1: Нарисуем график первого уравнения
Это парабола, открывающаяся вверх, с вершиной в точке (0, 3). Она проходит через точку (0, 3) и имеет форму, как показано ниже:
- Для \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \) → точка (-1, 4)
- Для \( x = 1 \): \( y = 1^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \) → точка (1, 4)
- Для \( x = 2 \): \( y = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7 \) → точка (2, 7)
Шаг 2: Нарисуем график второго уравнения
Это линейное уравнение, которое проходит через точку (0, 3) и имеет наклон 2. Мы можем взять несколько значений \( x \):
- Для \( x = 0 \): \( y = 2(0) + 3 = 3 \) → точка (0, 3)
- Для \( x = 1 \): \( y = 2(1) + 3 = 5 \) → точка (1, 5)
- Для \( x = 2 \): \( y = 2(2) + 3 = 7 \) → точка (2, 7)
Шаг 3: Находим точки пересечения
На графике мы заметим, что график параболы и линии пересекаются в точках (0, 3) и (2, 7).
Заключение
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений как аналитически, так и графически. Точки пересечения:
\[ (0, 3) \quad и \quad (2, 7) \]
