Давайте решим задачу по нахождению высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, с подробными объяснениями.
Условие задачи:
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка: один — длиной 4 см и другой — длиной 16 см.
Шаг 1: Обозначим элементы треугольника
Обозначим:
- ( A ) — вершина прямого угла,
- ( B ) и ( C ) — катеты треугольника,
- ( H ) — точка, где высота ( AH ) пересекает гипотенузу ( BC ).
Пусть:
- ( BH = 4 ) см (один отрезок на гипотенузе),
- ( HC = 16 ) см (другой отрезок на гипотенузе).
Шаг 2: Найдем длину гипотенузы
Гипотенуза ( BC ) равна сумме отрезков, на которые высота делит гипотенузу:
[
BC = BH + HC = 4 , \text{см} + 16 , \text{см} = 20 , \text{см}.
]
Шаг 3: Используем свойство высоты
Существует важное свойство в прямоугольном треугольнике - длина высоты, проведенной из прямого угла, равна произведению отрезков гипотенузы, на которые она делит гипотенузу, делённому на длину гипотенузы. В математической форме это выглядит так:
[
AH = \frac{BH \cdot HC}{BC}.
]
Подставим известные значения:
- ( BH = 4 , \text{см} ),
- ( HC = 16 , \text{см} ),
- ( BC = 20 , \text{см} ).
Шаг 4: Подсчеты
Теперь вычислим высоту ( AH ):
[
AH = \frac{4 , \text{см} \cdot 16 , \text{см}}{20 , \text{см}}.
]
Сначала найдем произведение:
[
4 \cdot 16 = 64 , \text{см}^2.
]
Теперь делим на длину гипотенузы:
[
AH = \frac{64 , \text{см}^2}{20 , \text{см}} = 3.2 , \text{см}.
]
Ответ
Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна ( 3.2 , \text{см} ).
