графически систему уравнений :2x-y=1, 2y-x=10

Чтобы графически изобразить систему уравнений \( 2x - y = 1 \) и \( 2y - x = 10 \), следуем пошагово.

Шаг 1: Преобразование уравнений в вид \( y = mx + b \)

Это уравнение легко графически изобразить, если преобразуем его в форму \( y = mx + b \), где \( m \) — это коэффициент наклона, а \( b \) — значение y-пересечения.

1. Первое уравнение: \[ 2x - y = 1 \] Переносим \( y \) на правую сторону: \[ y = 2x - 1 \]

2. Второе уравнение: \[ 2y - x = 10 \] Переносим \( x \) на правую сторону: \[ 2y = x + 10 \] Затем делим на 2: \[ y = \frac{1}{2}x + 5 \]

Теперь у нас есть два уравнения в стандартной форме:

1. \( y = 2x - 1 \)
2. \( y = \frac{1}{2}x + 5 \)

Шаг 2: Построение графиков

Теперь построим графики этих уравнений на одной координатной плоскости.

График первого уравнения \( y = 2x - 1 \):

• Для построения, выберем несколько значений для \( x \):

  • Если \( x = 0 \): \( y = 2(0) - 1 = -1 \) → точка (0, -1)
  • Если \( x = 1 \): \( y = 2(1) - 1 = 1 \) → точка (1, 1)
  • Если \( x = 2 \): \( y = 2(2) - 1 = 3 \) → точка (2, 3)

  Наносим точки на график и соединяем их прямой линией.

График второго уравнения \( y = \frac{1}{2}x + 5 \):

• Выберем несколько значений для \( x \):

  • Если \( x = 0 \): \( y = \frac{1}{2}(0) + 5 = 5 \) → точка (0, 5)
  • Если \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2}(2) + 5 = 6 \) → точка (2, 6)
  • Если \( x = -2 \): \( y = \frac{1}{2}(-2) + 5 = 4 \) → точка (-2, 4)

  Наносим точки на график и соединяем их прямой линией.

Шаг 3: Нахождение точки пересечения

Для нахождения точки пересечения (которая будет решением системы уравнений), мы можем либо решить систему уравнений алгебраически, либо найти точку на графике, где пересекаются линии.

Алгебраическое решение:

Применяем метод подстановки:

Подставляем \( y \) из первого уравнения во второе: \[ \frac{1}{2}x + 5 = 2x - 1 \]

Упростим уравнение: \[ 5 + 1 = 2x - \frac{1}{2}x \] \[ 6 = \frac{4x - x}{2} \] \[ 6 = \frac{3x}{2} \] Умножаем обе стороны на 2: \[ 12 = 3x \] \[ x = 4 \]

Подставляем \( x \) обратно в одно из уравнений, например в \( y = 2x - 1 \): \[ y = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7 \]

Итог

Система уравнений пересекается в точке \( (4, 7) \).

Таким образом, для заданной системы уравнений:

• Первое уравнение: \( y = 2x - 1 \)
• Второе уравнение: \( y = \frac{1}{2}x + 5 \)
• Точка пересечения: \( (4, 7) \)

Графически это будет выглядеть как две линии, пересекающиеся в данной точке.