Какое трёхзначное число нужно прибавить к 495 чтобы получить то же самое число, но задом наперёд

Решим задачу пошагово.

1. Обозначим число:
   Пусть трёхзначное число, которое мы ищем, будет равно \( x \).

2. Задание условия:
   Дано, что нам нужно прибавить это число к 495, чтобы получить то же самое число задом наперёд. Обозначим "задом наперёд" трёхзначное число как \( x' \).

   Если \( x \) — это трехзначное число, оно может быть записано в виде: \[ x = 100a + 10b + c \] где \( a, b, c \) — цифры числа, \( a \) — это сотни, \( b \) — десятки, \( c \) — единицы. Здесь \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) и \( c \) — от 0 до 9, чтобы число было трёхзначным.

3. Запишем обратное число:
   Задом наперёд это число будет: \[ x' = 100c + 10b + a \]

4. Запишем уравнение:
   Сформулируем уравнение на основе условия задачи: \[ 495 + x = x' \] Подставим \( x \) и \( x' \): \[ 495 + (100a + 10b + c) = (100c + 10b + a) \]

5. Упростим уравнение:
   Перепишем уравнение: \[ 495 + 100a + 10b + c = 100c + 10b + a \] Уберём \( 10b \) с обеих сторон: \[ 495 + 100a + c = 100c + a \] Теперь соберём все \( a \) и \( c \) на одну сторону: \[ 100a - a + 495 = 100c - c \] Это упростится до: \[ 99a + 495 = 99c \]

6. Преобразуем уравнение:
   Теперь разделим обе стороны на 99: \[ a + \frac{495}{99} = c \] Вычисляем \( \frac{495}{99} \): \[ \frac{495}{99} = 5 \] Таким образом получим: \[ c = a + 5 \]

7. Делим на диапазон значений:
   Поскольку \( a \) — это цифра от 1 до 9, а \( c \) — от 0 до 9, рассматриваем \( c = a + 5 \):

   • Если \( a = 1 \), тогда \( c = 6 \)
   • Если \( a = 2 \), тогда \( c = 7 \)
   • Если \( a = 3 \), тогда \( c = 8 \)
   • Если \( a = 4 \), тогда \( c = 9 \)
   • Если \( a \geq 5 \), то \( c \) выйдет за пределы однозначной цифры (не может быть 10).

   Таким образом, возможные варианты \( (a, c) \) — это:

   • \( (1, 6) \)
   • \( (2, 7) \)
   • \( (3, 8) \)
   • \( (4, 9) \)

8. Находим числа:
   Нам нужно определить значения \( b \), которые могут принимать любые значения от 0 до 9. Подставляю значения \( b \) для всех возможных \( (a, c) \):

   • Для \( a = 1, c = 6 \): \( x = 100 \cdot 1 + 10b + 6 = 100 + 10b + 6 \)
   • Для \( a = 2, c = 7 \): \( x = 200 + 10b + 7 \)
   • Для \( a = 3, c = 8 \): \( x = 300 + 10b + 8 \)
   • Для \( a = 4, c = 9 \): \( x = 400 + 10b + 9 \)

   Это означает, что возможные числа:

   • 106, 107, 108, 109
   • 206, 207, 208, 209
   • 306, 307, 308, 309
   • 406, 407, 408, 409

Каждое из этих чисел можно проверить, прибавив к 495 и сравнив с перевёрнутым числом. Например:

• Для 106: \( 495 + 106 = 601 \), а перевёрнутое 601.
• Для 207: \( 495 + 207 = 702 \), и перевёрнутое 702.
• И так далее.

Таким образом, искомые трёхзначные числа, которые отвечают условию задачи, это:

• 106
• 207
• 308
• 409

Все они подходят под условие задачи.