Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулой для вычисления вероятности с помощью биномиального распределения.
Шаг 1: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет ( k ) раз в ( n ) испытаниях равна:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае ( p = 0.5 ) для симметричной монеты)
- ( n ) — общее количество испытаний (подкидываний монеты)
- ( k ) — количество успешных исходов (выпадений решки)
Шаг 2: Подсчет вероятностей
В нашем случае:
- ( n = 16 )
- Для события «монета выпала решкой ровно 10 раз» ( k = 10 )
- Для события «монета выпала решкой ровно 13 раз» ( k = 13 )
Вероятность для ( k = 10 ):
[
P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{16 - 10}
]
[
= C(16, 10) \cdot (0.5)^{16}
]
Теперь вычислим ( C(16, 10) ):
[
C(16, 10) = \frac{16!}{10!(16-10)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008
]
Таким образом,
[
P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16}
]
Вероятность для ( k = 13 ):
[
P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{16 - 13}
]
[
= C(16, 13) \cdot (0.5)^{16}
]
Теперь вычислим ( C(16, 13) ):
[
C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560
]
Таким образом,
[
P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16}
]
Шаг 3: Сравнение вероятностей
Теперь найдём отношение ( \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} ):
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560}
]
Упрощаем дробь:
[
\frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 56}{560 \div 56} = \frac{143}{10} = 14.3
]
Ответ
Вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в ( 14.3 ) раза.
