Симметричную монету подкидывают 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз»?

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулой для вычисления вероятности с помощью биномиального распределения.

Шаг 1: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что событие произойдет \( k \) раз в \( n \) испытаниях равна:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = 0.5 \) для симметричной монеты)
• \( n \) — общее количество испытаний (подкидываний монеты)
• \( k \) — количество успешных исходов (выпадений решки)

Шаг 2: Подсчет вероятностей

В нашем случае:

• \( n = 16 \)
• Для события «монета выпала решкой ровно 10 раз» \( k = 10 \)
• Для события «монета выпала решкой ровно 13 раз» \( k = 13 \)

Вероятность для \( k = 10 \):

\[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{16 - 10} \] \[ = C(16, 10) \cdot (0.5)^{16} \]

Теперь вычислим \( C(16, 10) \):

\[ C(16, 10) = \frac{16!}{10!(16-10)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008 \]

Таким образом,

\[ P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} \]

Вероятность для \( k = 13 \):

\[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{16 - 13} \] \[ = C(16, 13) \cdot (0.5)^{16} \]

Теперь вычислим \( C(16, 13) \):

\[ C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560 \]

Таким образом,

\[ P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} \]

Шаг 3: Сравнение вероятностей

Теперь найдём отношение \( \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} \):

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Упрощаем дробь:

\[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 56}{560 \div 56} = \frac{143}{10} = 14.3 \]

Ответ

Вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в \( 14.3 \) раза.