9. Перед на¬ча¬лом фут¬боль¬но¬го матча судья бро¬са¬ет мо¬нет¬ку, чтобы опре¬де¬лить, какая из ко¬манд начнёт игру с мячом. Ко¬ман¬да «Труд» иг¬ра¬ет три матча с раз¬ны¬ми…

Чтобы найти вероятность того, что команда «Труд» выиграет жребий ровно два раза из трёх возможных, можем использовать биномиальное распределение. Давайте сделать это шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров

В данном случае:

• \( n = 3 \) (количество матчей)
• \( k = 2 \) (количество "выигрышей" жребия)
• Вероятность выиграть жребий в одном матче \( p = 0.5 \) (поскольку монета честная, вероятность выпадения орла или решки равна 0.5).

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз из \( n \) попыток, описывается формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \).
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5).
• \( 1 - p \) — вероятность неуспеха.

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента

Биномиальный коэффициент \( \binom{n}{k} \) вычисляется по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае:

\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим найденные значения в формулу:

\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3 - 2} \]

Вычислим:

\[ = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \]

Шаг 5: Ответ

Таким образом, вероятность того, что команда «Труд» выиграет жребий ровно два раза из трёх матчей, составляет 0.375 или 37.5%.

Такой подход позволяет выяснить, как использовать биномиальное распределение для решения подобных задач о вероятностях.