установите взаимное расположение окружностей, заданных уравнениями: а)x²+y²=9 и x²+y²=4 б)(x-1)²+y²=1 и x²+y²=4

Давайте решим данную задачу: определим взаимное расположение окружностей, заданных уравнениями в двух предложенных пунктах.

Часть а: Уравнения окружностей

Уравнения окружностей:

1. \(x^2 + y^2 = 9\)
2. \(x^2 + y^2 = 4\)

Шаг 1: Определение центра и радиуса окружностей

• Для первой окружности \(x^2 + y^2 = 9\):

  • Центр: \((0, 0)\) (так как нет сдвигов по \(x\) и \(y\)).
  • Радиус: \(\sqrt{9} = 3\).

• Для второй окружности \(x^2 + y^2 = 4\):

  • Центр: \((0, 0)\).
  • Радиус: \(\sqrt{4} = 2\).

Шаг 2: Анализ взаимного расположения окружностей

Обе окружности имеют один и тот же центр, но их радиусы различны:

• Первая окружность имеет радиус 3.
• Вторая окружность имеет радиус 2.

Так как радиус первой окружности больше, чем радиус второй, и они имеют одинаковый центр, мы можем заключить, что вторая окружность находится внутри первой.

Ответ Часть а:

Взаимное расположение окружностей: вторая окружность находится внутри первой.

Часть б: Уравнения окружностей

Уравнения окружностей:

1. \((x - 1)^2 + y^2 = 1\)
2. \(x^2 + y^2 = 4\)

Шаг 1: Определение центра и радиуса окружностей

• Для первой окружности \((x - 1)^2 + y^2 = 1\):

  • Центр: \((1, 0)\) (смещение на 1 по оси \(x\), без смещения по \(y\)).
  • Радиус: \(\sqrt{1} = 1\).

• Для второй окружности \(x^2 + y^2 = 4\):

  • Центр: \((0, 0)\).
  • Радиус: \(\sqrt{4} = 2\).

Шаг 2: Определение расстояния между центрами окружностей

Расстояние между центрами окружностей можно найти по формуле расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1} = 1. \]

Шаг 3: Анализ взаимного расположения окружностей

Теперь сравним расстояние между центрами \(d\) с радиусами окружностей:

• Для первой окружности: радиус = 1.
• Для второй окружности: радиус = 2.

Мы видим, что:

• Расстояние \(d = 1\) (между центрами),
• Радиус первой окружности = 1 (достигает края в точке на расстоянии 1 от своего центра),
• Радиус второй окружности = 2.

Так как расстояние между центрами меньше, чем радиус второй окружности, и также меньше суммы радиусов первой и второй окружностей \((1 + 2 = 3)\), то мы можем сказать, что окружности пересекаются.

Ответ Часть б:

Взаимное расположение окружностей: окружности пересекаются.