постройте график функции у = х²-5|х|-х и определите, при каких згачениях m прямая у=m имеет с грфиком не пенее олной, но и не более трех общих точек

Чтобы решить данную задачу, начнем с анализа функции и её графика, а затем найдем условия, при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции не менее одной, но не более трех раз.

Шаг 1: Построение графика функции

1. Функция: \[ y = x^2 - 5|x| - x \] Функция состоит из квадратичного члена \( x^2 \), линейного члена \( -x \) и модуля \( -5|x| \). Чтобы понять поведение функции, рассмотрим два случая: когда \( x \) положительное и когда \( x \) отрицательное.

2. Когда \( x \geq 0 \): \[ |x| = x \quad \Rightarrow \quad y = x^2 - 5x - x = x^2 - 6x \] Это — парабола, открывающаяся вверх, с корнями: \[ x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \quad x = 6 \]

3. Когда \( x < 0 \): \[ |x| = -x \quad \Rightarrow \quad y = x^2 + 5x - x = x^2 + 4x \] Это также парабола, открывающаяся вверх, с корнями: \[ x^2 + 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \quad x = -4 \]

Шаг 2: Найдем график функции

Теперь, объединив результаты, можем описать график функции:

• Для \( x \geq 0 \):

  • Парабола \( y = x^2 - 6x \) имеет минимальную точку в вершине \( x = 3 \) (находим по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \)): \[ y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9 \]

• Для \( x < 0 \):

  • Парабола \( y = x^2 + 4x \) имеет минимальную точку в вершине \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4 \]

Шаг 3: Исследуем точки пересечения с прямой \( y = m \)

График параболы \( y = x^2 - 6x \) имеет:

• Корни: \( x = 0 \) и \( x = 6 \) (два пересечения при \( m = 0 \) и \( m = -6 \)).
• Минимум: \( -9 \) при \( x = 3 \).

График параболы \( y = x^2 + 4x \) имеет:

• Корни: \( x = 0 \) и \( x = -4 \) (два пересечения при \( m = 0 \) и \( m = 4 \)).
• Минимум: \( -4 \) при \( x = -2 \).

Условия для количества пересечений

Чтобы прямая \( y = m \) имела:

• Не менее одной точки пересечения, но не более трех:
  • При \( m > -4 \) (обе параболы имеют минимум ниже 0 и могут пересекаться):
    • Если \( -4 < m < -9 \): 3 точки (обе параболы пересекаются)
    • Если \( m = -9 \): 3 точки (касание верхней параболы)
    • Если \( m = -4 \): 2 точки (касание нижней параболы)

Если \( m < -9 \): будет 2 точки только у верхней параболы.

Ответ

Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет не менее одной, но не более трех точек пересечения с графиком функции:

\[ m > -9 \quad \text{и} \quad m < -4 \]

Таким образом, корректно переписывая результат: для \( m \) в интервале \( (-9, -4) \) будет 3 пересечения, при \( m = -4 \) и \( m = -9 \) будет 2 пересечения.