-х2+2х+8<0
Рассмотрим неравенство \( -x^2 + 2x + 8 < 0 \). Мы будем решать это неравенство шаг за шагом.
Шаг 1: Преобразуем неравенство.
Сначала мы можем умножить обе стороны неравенства на -1, однако это изменит знак неравенства:
\[ x^2 - 2x - 8 > 0 \]
Теперь наше неравенство выглядит как \( x^2 - 2x - 8 > 0 \).
Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения.
Для нахождения корней уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -8 \).
Посчитаем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу корней:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
Решим выражения:
- \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).
Шаг 3: Построим знак многочлена.
Теперь нам нужно проанализировать знак выражения \( x^2 - 2x - 8 \) в интервалах, определяемых корнями \( -2 \) и \( 4 \).
Мы разбиваем числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Теперь проверим знак функции в каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, -2) \): Выберем точку, например, \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \]
Для интервала \( (-2, 4) \): Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8 < 0 \]
Для интервала \( (4, +\infty) \): Выберем точку, например, \( x = 5 \): \[ 5^2 - 2 \cdot 5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \]
Шаг 4: Подведем итоги.
Из анализа мы получили следующие знаки выражения:
- На интервале \( (-\infty, -2) \): \( > 0 \)
- На интервале \( (-2, 4) \): \( < 0 \)
- На интервале \( (4, +\infty) \): \( > 0 \)
Нам нужно решить неравенство \( x^2 - 2x - 8 > 0 \), что соответствует интервалам: \[ (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \]
Ответ:
Решение неравенства \( -x^2 + 2x + 8 < 0 \) — это \( x \in (-2, 4) \).
