Чтобы найти область значений функции ( y = -2x^2 + 8x - 3 ), нам нужно определить, какие значения принимает ( y ) при различных значениях ( x ). Это квадратная функция, которая имеет форму параболы, и так как коэффициент при ( x^2 ) отрицателен ((-2)), парабола открывается вниз.
Шаг 1: Определение координат вершины параболы
Координаты вершин параболы для функции общего вида ( ax^2 + bx + c ) вычисляются по формуле:
[
x_{в} = -\frac{b}{2a}
]
Где:
Подставляем значения в формулу:
[
x_{в} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2
]
Теперь, чтобы найти координату ( y ) в этой точке, подставляем ( x = 2 ) в уравнение функции:
[
y_{в} = -2(2^2) + 8(2) - 3
]
Посчитаем:
[
y_{в} = -2(4) + 16 - 3
]
[
y_{в} = -8 + 16 - 3
]
[
y_{в} = 8 - 3 = 5
]
Итак, вершина параболы находится в точке ( (2, 5) ).
Шаг 2: Определение области значений функции
Поскольку парабола открывается вниз, максимальное значение функции — это значение при вершине, которое равно ( 5 ). Поскольку парабола продолжается вниз, ( y ) может принимать все значения меньше или равные ( 5 ).
Шаг 3: Запись области значений
Таким образом, область значений функции ( y = -2x^2 + 8x - 3 ) записывается как:
[
(-\infty, 5]
]
Итог
Область значений функции ( y = -2x^2 + 8x - 3 ) — это все значения ( y ), которые меньше или равны ( 5 ). То есть:
[
y \in (-\infty, 5]
]
