3. Найдите область значений функции y= - 2x ^ 2 + +8x-3.

Чтобы найти область значений функции \( y = -2x^2 + 8x - 3 \), нам нужно определить, какие значения принимает \( y \) при различных значениях \( x \). Это квадратная функция, которая имеет форму параболы, и так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен (\(-2\)), парабола открывается вниз.

Шаг 1: Определение координат вершины параболы

Координаты вершин параболы для функции общего вида \( ax^2 + bx + c \) вычисляются по формуле:

\[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \]

Где:

• \( a = -2 \)
• \( b = 8 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ x_{в} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \]

Теперь, чтобы найти координату \( y \) в этой точке, подставляем \( x = 2 \) в уравнение функции:

\[ y_{в} = -2(2^2) + 8(2) - 3 \]

Посчитаем:

\[ y_{в} = -2(4) + 16 - 3 \] \[ y_{в} = -8 + 16 - 3 \] \[ y_{в} = 8 - 3 = 5 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (2, 5) \).

Шаг 2: Определение области значений функции

Поскольку парабола открывается вниз, максимальное значение функции — это значение при вершине, которое равно \( 5 \). Поскольку парабола продолжается вниз, \( y \) может принимать все значения меньше или равные \( 5 \).

Шаг 3: Запись области значений

Таким образом, область значений функции \( y = -2x^2 + 8x - 3 \) записывается как:

\[ (-\infty, 5] \]

Итог

Область значений функции \( y = -2x^2 + 8x - 3 \) — это все значения \( y \), которые меньше или равны \( 5 \). То есть:

\[ y \in (-\infty, 5] \]