Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадает в мишень не менее 2 раз

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (выстрелов), два возможных исхода (попадание или промах) и постоянная вероятность попадания в мишень.

Данные задачи:

• Вероятность попадания в мишень (успех) \( p = 0.4 \)
• Вероятность промаха (неуспеха) \( q = 1 - p = 0.6 \)
• Количество выстрелов (испытаний) \( n = 5 \)
• Мы ищем вероятность того, что попаданий будет не менее 2, то есть \( P(X \geq 2) \).

Шаг 1: Определение вероятности \( P(X \geq 2) \)

Мы можем найти вероятность \( P(X \geq 2) \) через дополнение: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \] Где:

• \( P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)
• \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k\): \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Шаг 2: Вычисление \( P(X = 0) \) и \( P(X = 1) \)

1. Для \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 \] \[ C(5, 0) = 1 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^5 = (0.6)^5 \approx 0.07776 \]

2. Для \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^4 \] \[ C(5, 1) = 5 \] \[ P(X = 1) = 5 \cdot (0.4) \cdot (0.6)^4 \approx 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 \approx 0.2592 \]

Шаг 3: Подсчет \( P(X < 2) \)

Теперь, складываем найденные вероятности: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.07776 + 0.2592 \approx 0.33696 \]

Шаг 4: Найдем \( P(X \geq 2) \)

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.33696 \approx 0.66304 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз, равна примерно 0.66304.

Если округлить, ответ можно представить как 0.66 или 66.3%.