найдите производную
Чтобы решить задачу, найдем производные функций, указанных в каждом пункте:
- \( y = x^6 - 7x \)
Производные по стандартным правилам:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^6) - \frac{d}{dx}(7x) = 6x^5 - 7 \]
- \( y = 6x^4 + 9x^3 - 10 \)
Применяя правила для полиномиальных функций:
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^4) + \frac{d}{dx}(9x^3) - \frac{d}{dx}(10) = 24x^3 + 27x^2 \]
- \( y = \sqrt{x} - 15x \)
Используя правило дифференцирования для корня:
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(15x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 15 \]
- \( y = 5x^{-2} - \frac{1}{x} + 9 \)
Для дробно-рациональных выражений:
\[ y' = \frac{d}{dx}(5x^{-2}) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -10x^{-3} + \frac{1}{x^2} \]
- \( y = \frac{4}{x^5} - \tan(x) \)
Правила для дробно-рациональных и тригонометрических функций:
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x^{-5}) - \frac{d}{dx}(\tan(x)) = -20x^{-6} - \sec^2(x) \]
- \( y = 5\sin(x) + \sqrt{x} \)
Комбинируем стандартные правила для тригонометрических функций и корня:
\[ y' = \frac{d}{dx}(5\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = 5\cos(x) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
- \( y = \frac{6}{x^3} - \cos(x) \)
Для дробных и тригонометрических элементов:
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^{-3}) - \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -18x^{-4} + \sin(x) \]
- \( y = (x^6 + 3)(x^4 - 4) \)
Применяем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \):
\[ u = x^6 + 3, \quad v = x^4 - 4 \]
\[ u' = 6x^5, \quad v' = 4x^3 \]
\[ y' = (6x^5)(x^4 - 4) + (x^6 + 3)(4x^3) = 6x^9 - 24x^5 + 4x^9 + 12x^3 = 10x^9 - 24x^5 + 12x^3 \]
Теперь каждое задание выполнено с подробными объяснениями.
