Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Дано:
- Сумма двух натуральных чисел: ( x + y = 28 )
- Сумма квадратов этих чисел: ( x^2 + y^2 = 394 )
Шаг 1: Используем первое уравнение.
Из первого уравнения можно выразить одно переменную через другую. Например:
[ y = 28 - x ]
Шаг 2: Подставим ( y ) во второе уравнение.
Теперь подставим ( y ) в уравнение суммы квадратов:
[ x^2 + (28 - x)^2 = 394 ]
Шаг 3: Раскроем скобки.
Теперь раскроем квадрат:
[
(28 - x)^2 = 28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2 = 784 - 56x + x^2
]
Заменим это в уравнении:
[
x^2 + 784 - 56x + x^2 = 394
]
Сложим подобные член:
[
2x^2 - 56x + 784 = 394
]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Теперь вычтем 394 из обеих сторон:
[
2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0
]
Получаем:
[
2x^2 - 56x + 390 = 0
]
Шаг 5: Упростим уравнение на 2.
Делим всё уравнение на 2:
[
x^2 - 28x + 195 = 0
]
Шаг 6: Найдем дискриминант.
Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта ( D = b^2 - 4ac ):
[
D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4
]
Шаг 7: Найдем корни уравнения.
Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm 2}{2}
]
Это даёт нам два варианта:
- ( x = \frac{30}{2} = 15 )
- ( x = \frac{26}{2} = 13 )
Шаг 8: Найдем значения ( y ).
Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ):
- Если ( x = 15 ), то ( y = 28 - 15 = 13 )
- Если ( x = 13 ), то ( y = 28 - 13 = 15 )
Шаг 9: Проверка.
Проверим, что сумма квадратов чисел соответствует условию:
[
15^2 + 13^2 = 225 + 169 = 394
]
Условия задачи выполняются.
Ответ:
Два натуральных числа – это 15 и 13.
