сумма двух натуральных чисел равна 28 а сумма квадратов этих чисел равна 394 найдите эти числа
Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Дано:
- Сумма двух натуральных чисел: \( x + y = 28 \)
- Сумма квадратов этих чисел: \( x^2 + y^2 = 394 \)
Шаг 1: Используем первое уравнение. Из первого уравнения можно выразить одно переменную через другую. Например: \[ y = 28 - x \]
Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение. Теперь подставим \( y \) в уравнение суммы квадратов: \[ x^2 + (28 - x)^2 = 394 \]
Шаг 3: Раскроем скобки. Теперь раскроем квадрат: \[ (28 - x)^2 = 28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2 = 784 - 56x + x^2 \] Заменим это в уравнении: \[ x^2 + 784 - 56x + x^2 = 394 \] Сложим подобные член: \[ 2x^2 - 56x + 784 = 394 \]
Шаг 4: Упростим уравнение. Теперь вычтем 394 из обеих сторон: \[ 2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0 \] Получаем: \[ 2x^2 - 56x + 390 = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение на 2. Делим всё уравнение на 2: \[ x^2 - 28x + 195 = 0 \]
Шаг 6: Найдем дискриминант. Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4 \]
Шаг 7: Найдем корни уравнения. Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm 2}{2} \] Это даёт нам два варианта:
- \( x = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( x = \frac{26}{2} = 13 \)
Шаг 8: Найдем значения \( y \). Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
- Если \( x = 15 \), то \( y = 28 - 15 = 13 \)
- Если \( x = 13 \), то \( y = 28 - 13 = 15 \)
Шаг 9: Проверка. Проверим, что сумма квадратов чисел соответствует условию: \[ 15^2 + 13^2 = 225 + 169 = 394 \] Условия задачи выполняются.
Ответ: Два натуральных числа – это 15 и 13.
