Найдите обьем шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3, а площадь сечения равна 27П
Для решения задачи найдем объем шара, используя данную информацию о сечении.
Шар пересечен плоскостью, и в результате получается круг. Радиус этого круга можно найти через его площадь.
Площадь круга сечения: \[ S = \pi R^2 = 27\pi \] Отсюда радиус \( R \) круга: \[ R^2 = 27 \Rightarrow R = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
Отношение радиусов: Плоскость сечения находится на расстоянии 3 единицы от центра шара. Мы имеем прямоугольный треугольник, одна из сторон которого — расстояние от центра до плоскости \( d = 3 \), другая — радиус сечения \( R = 3\sqrt{3} \), и гипотенуза — радиус шара \( r \).
По теореме Пифагора: \[ r^2 = d^2 + R^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \] \[ r = \sqrt{36} = 6 \]
Объем шара: Формула объема шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Подставим найденное значение радиуса \( r = 6 \): \[ V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 216 = 288\pi \]
Таким образом, объем шара равен \( 288\pi \).
