Реши эти два задание

Давайте подробно решим каждое из данных заданий.

Задание 3.64:

1) \(\sin x \geq \frac{1}{2}\)

Значение \(\sin x = \frac{1}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) в единичной окружности. Поскольку \(\sin x \geq \frac{1}{2}\), это означает, что \(x\) может принимать значения в диапазоне: \[ x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right], \, k \in \mathbb{Z} \]

2) \(\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Значение \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\). Поскольку \(\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\), это находится между этими двумя значениями: \[ x \in \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

3) \(\tan x > -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) соответствует углам \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi k\). Из условия, \(\tan x > -\frac{1}{\sqrt{3}}\), следует: \[ x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

4) \(\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углам \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{5\pi}{4} + 2k\pi\). Поскольку \(\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\), это диапазон: \[ x \in \left(-\frac{5\pi}{4} + 2k\pi, -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

5) \(\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\). Поскольку \(\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{4} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

6) \(\cot x < \sqrt{3}\)

\(\cot x = \sqrt{3}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{6} + \pi k\). Из условия, \(\cot x < \sqrt{3}\): \[ x \in \left(\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

Задание 3.65:

1) \(2\cos x - 1 > 0\)

Упростив неравенство, получаем \(\cos x > \frac{1}{2}\). \(\cos x = \frac{1}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\): \[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

2) \(2\sin x + \sqrt{3} \geq 0\)

Упростив неравенство, получаем \(\sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углам \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\): \[ x \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right], \, k \in \mathbb{Z} \]

3) \(2\cos x - \sqrt{3} \leq 0\)

Упростив неравенство, получаем \(\cos x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углам \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\): \[ x \in \left[-\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right], \, k \in \mathbb{Z} \]

4) \(3\tan x + \sqrt{3} > 0\)

Упростив неравенство, получаем \(\tan x > -\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) соответствует углам \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi k\): \[ x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k\right), \, k \in \mathbb{Z} \]

Вот и все! Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!