1 + cos 6x =2 sin^2 5 x

Давайте решим уравнение \( 1 + \cos(6x) = 2 \sin^2(5x) \) и объясним каждый шаг.

Шаг 1: Упростим вторую часть уравнения

Мы знаем, что \( \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) \). Однако, в данном случае проще использовать другую тригонометрическую идентичность:

\[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \]

Используем это преобразование для \( \sin^2(5x) \):

\[ 2 \sin^2(5x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(10x)}{2} = 1 - \cos(10x) \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ 1 + \cos(6x) = 1 - \cos(10x) \]

Шаг 2: Упростим уравнение

Теперь уберем 1 с обеих сторон уравнения:

\[ \cos(6x) = -\cos(10x) \]

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Мы можем воспользоваться свойством косинуса, которое гласит, что \( \cos(A) = -\cos(B) \) можно записать как:

\[ \cos(A) + \cos(B) = 0 \]

Или, используя формулу приведения косинуса:

\[ \cos(6x) + \cos(10x) = 0 \]

Шаг 4: Используем формулу косинусов

Также воспользуемся формулой:

\[ \cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) \]

Для того чтобы выразить \( 6x \) и \( 10x \):

• \( A = 6x \)
• \( B = 10x \)

Тогда получаем:

\[ \cos(6x) + \cos(10x) = 2 \cos\left(\frac{6x + 10x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x - 10x}{2}\right) = 2 \cos(8x) \cos(-2x) = 2 \cos(8x) \cos(2x) \]

Таким образом, уравнение можно записать как:

\[ 2 \cos(8x) \cos(2x) = 0 \]

Шаг 5: Решим каждую часть уравнения

Это уравнение равно нулю, когда:

1. \( \cos(8x) = 0 \)
2. \( \cos(2x) = 0 \)

Для \( \cos(8x) = 0 \)

Косинус равен нулю, когда:

\[ 8x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Следовательно,

\[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8} \]

Для \( \cos(2x) = 0 \)

Косинус равен нулю также при:

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \]

То есть,

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2} \]

Шаг 6: Финальные ответы

Таким образом, решения исходного уравнения:

• \( x = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, \quad n \in \mathbb{Z} \)
• \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} \)

Это полное решение уравнения. Надеюсь, этот процесс был понятен и полезен. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!