1 + cos 6x =2 sin^2 5 x

Давайте решим уравнение \( 1 + \cos(6x) = 2 \sin^2(5x) \) и объясним каждый шаг. ### Шаг 1: Упростим вторую часть уравнения Мы знаем, что \( \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) \). Однако, в данном случае проще использовать другую тригонометрическую идентичность: \[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \] Используем это преобразование для \( \sin^2(5x) \): \[ 2 \sin^2(5x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(10x)}{2} = 1 - \cos(10x) \] Теперь подставим это выражение в уравнение: \[ 1 + \cos(6x) = 1 - \cos(10x) \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Теперь уберем 1 с обеих сторон уравнения: \[ \cos(6x) = -\cos(10x) \] ### Шаг 3: Преобразуем уравнение Мы можем воспользоваться свойством косинуса, которое гласит, что \( \cos(A) = -\cos(B) \) можно записать как: \[ \cos(A) + \cos(B) = 0 \] Или, используя формулу приведения косинуса: \[ \cos(6x) + \cos(10x) = 0 \] ### Шаг 4: Используем формулу косинусов Также воспользуемся формулой: \[ \cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Для того чтобы выразить \( 6x \) и \( 10x \): - \( A = 6x \) - \( B = 10x \) Тогда получаем: \[ \cos(6x) + \cos(10x) = 2 \cos\left(\frac{6x + 10x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x - 10x}{2}\right) = 2 \cos(8x) \cos(-2x) = 2 \cos(8x) \cos(2x) \] Таким образом, уравнение можно записать как: \[ 2 \cos(8x) \cos(2x) = 0 \] ### Шаг 5: Решим каждую часть уравнения Это уравнение равно нулю, когда: 1. \( \cos(8x) = 0 \) 2. \( \cos(2x) = 0 \) #### Для \( \cos(8x) = 0 \) Косинус равен нулю, когда: \[ 8x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] Следовательно, \[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8} \] #### Для \( \cos(2x) = 0 \) Косинус равен нулю также при: \[ 2x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \] То есть, \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2} \] ### Шаг 6: Финальные ответы Таким образом, решения исходного уравнения: - \( x = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, \quad n \in \mathbb{Z} \) - \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} \) Это полное решение уравнения. Надеюсь, этот процесс был понятен и полезен. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!