Для решения данной задачи мы будем использовать принцип Архименда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость (в данном случае - в воздух), действует сила, равная весу вытесненной жидкости.
Шаг 1: Определение силы, действующей на шарик
Вычислим объем шарика. Объем полого шара (металлический) можно рассчитать по формуле:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где ( r ) - радиус шарика в метрах. Поскольку радиус задан в сантиметрах, преобразуем его в метры:
[
r = 3 , \text{см} = 0.03 , \text{м}
]
Подставляем значение в формулу:
[
V = \frac{4}{3} \pi (0.03)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 2.7 \times 10^{-5} \approx 1.13 \times 10^{-4} , \text{м}^3
]
Вычислим вес шарика:
Масса шарика ( m = 3 , \text{г} = 0.003 , \text{кг} ). Вес (сила тяжести) рассчитывается по формуле:
[
F_{weight} = m \cdot g
]
где ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения:
[
F_{weight} = 0.003 \cdot 9.81 \approx 0.02943 , \text{Н}
]
Шаг 2: Определение подъемной силы
Подъемная сила, действующая на шарик, равна весу вытесненного воздуха, и вычисляется по формуле:
[
F_{buoyancy} = \rho_{air} \cdot V \cdot g
]
Чтобы найти плотность воздуха ( \rho_{air} ), используем уравнение состояния газа:
[
PV = nRT
]
Из этого уравнения можно выразить основной параметр:
[
\rho_{air} = \frac{PM}{RT}
]
где:
- ( P ) — давление (в Паскалях);
- ( M = 0.029 , \text{кг/моль} ) — молярная масса воздуха в килограммах на моль;
- ( R = 8.314 , \text{Дж/(моль·К)} ) — универсальная газовая постоянная;
- ( T = 28 , \text{°C} = 301 , \text{K} ).
Шаг 3: Рассмотрим необходимые значения давления
Мы знаем, что шарик оторвется от дна резервуара, если подъемная сила будет больше или равна весу шарика:
[
F_{buoyancy} \geq F_{weight}
]
Подставляя все в это неравенство:
[
\rho_{air} \cdot V \cdot g \geq m \cdot g
]
Упрощая, получаем:
[
\rho_{air} \cdot V \geq m
]
Шаг 4: Подставляем значения и находим давление
Теперь подставим значения:
- Объем ( V = 1.13 \times 10^{-4} , \text{м}^3 )
- Масса ( m = 0.003 , \text{кг} )
Тогда:
[
\rho_{air} \cdot 1.13 \times 10^{-4} \geq 0.003
]
Это позволяет найти минимальную плотность воздуха:
[
\rho_{air} \geq \frac{0.003}{1.13 \times 10^{-4}} \approx 26.5 , \text{кг/м}^3
]
Шаг 5: Найдем соответствующее давление
Теперь подставляем найденную плотность обратно в уравнение состояния:
[
P = \frac{\rho_{air}RT}{M}
]
Подставляем известные значения:
[
P = \frac{(26.5)(8.314)(301)}{0.029}
]
Вычисляем:
[
P \approx \frac{66370.1}{0.029} \approx 2285.52 , \text{Па} \approx 0.02285 , \text{МПа}
]
Ответ:
Минимальное давление, при котором шарик оторвётся от дна резервуара, составляет примерно 0.0 МПа (последнее значение округлено до десятых).
