В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом резервуаре с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика. Найди, до…
В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом резервуаре с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика. Найди, до какого минимального значения давления нужно сжать воздух, при котором шарик оторвётся ото дна резервуара. Физические параметры воздуха: температура - 28 С, молярная масса - 29 г/моль. Физические параметры шарика: радиус - 3 см, масса - 3 г. (Ответ округли до десятых.) Ответ: МПа.
Для решения данной задачи мы будем использовать принцип Архименда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость (в данном случае - в воздух), действует сила, равная весу вытесненной жидкости.
Шаг 1: Определение силы, действующей на шарик
Вычислим объем шарика. Объем полого шара (металлический) можно рассчитать по формуле:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
где \( r \) - радиус шарика в метрах. Поскольку радиус задан в сантиметрах, преобразуем его в метры:
\[ r = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \]
Подставляем значение в формулу:
\[ V = \frac{4}{3} \pi (0.03)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 2.7 \times 10^{-5} \approx 1.13 \times 10^{-4} \, \text{м}^3 \]
Вычислим вес шарика:
Масса шарика \( m = 3 \, \text{г} = 0.003 \, \text{кг} \). Вес (сила тяжести) рассчитывается по формуле:
\[ F_{weight} = m \cdot g \]
где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения:
\[ F_{weight} = 0.003 \cdot 9.81 \approx 0.02943 \, \text{Н} \]
Шаг 2: Определение подъемной силы
Подъемная сила, действующая на шарик, равна весу вытесненного воздуха, и вычисляется по формуле:
\[ F_{buoyancy} = \rho_{air} \cdot V \cdot g \]
Чтобы найти плотность воздуха \( \rho_{air} \), используем уравнение состояния газа:
\[ PV = nRT \]
Из этого уравнения можно выразить основной параметр:
\[ \rho_{air} = \frac{PM}{RT} \]
где:
- \( P \) — давление (в Паскалях);
- \( M = 0.029 \, \text{кг/моль} \) — молярная масса воздуха в килограммах на моль;
- \( R = 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} \) — универсальная газовая постоянная;
- \( T = 28 \, \text{°C} = 301 \, \text{K} \).
Шаг 3: Рассмотрим необходимые значения давления
Мы знаем, что шарик оторвется от дна резервуара, если подъемная сила будет больше или равна весу шарика:
\[ F_{buoyancy} \geq F_{weight} \]
Подставляя все в это неравенство:
\[ \rho_{air} \cdot V \cdot g \geq m \cdot g \]
Упрощая, получаем:
\[ \rho_{air} \cdot V \geq m \]
Шаг 4: Подставляем значения и находим давление
Теперь подставим значения:
- Объем \( V = 1.13 \times 10^{-4} \, \text{м}^3 \)
- Масса \( m = 0.003 \, \text{кг} \)
Тогда:
\[ \rho_{air} \cdot 1.13 \times 10^{-4} \geq 0.003 \]
Это позволяет найти минимальную плотность воздуха:
\[ \rho_{air} \geq \frac{0.003}{1.13 \times 10^{-4}} \approx 26.5 \, \text{кг/м}^3 \]
Шаг 5: Найдем соответствующее давление
Теперь подставляем найденную плотность обратно в уравнение состояния:
\[ P = \frac{\rho_{air}RT}{M} \]
Подставляем известные значения:
\[ P = \frac{(26.5)(8.314)(301)}{0.029} \]
Вычисляем:
\[ P \approx \frac{66370.1}{0.029} \approx 2285.52 \, \text{Па} \approx 0.02285 \, \text{МПа} \]
Ответ:
Минимальное давление, при котором шарик оторвётся от дна резервуара, составляет примерно 0.0 МПа (последнее значение округлено до десятых).
