Шесть друзей случайным образом рассаживаются на скамейку. а) Сколько существует способов рассадки на скамейке, если на ней шесть мест? б) Сколько способов рассадить друзей, если…

Для решения задачи мы будем использовать комбинаторные методы. Давайте рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) Сколько существует способов рассадки на скамейке, если на ней шесть мест?

Когда нам необходимо рассадить \( n \) человек на \( n \) мест, это задача, в которой мы можем использовать факториал. Факториал числа \( n \) обозначается как \( n! \) и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).

В данном случае, у нас 6 друзей, и мы хотим узнать, сколько существует способов рассадить их на 6 местах. Это будет вычисляться как \( 6! \).

Вычислим \( 6! \):

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

Таким образом, существует 720 способов рассадить шесть друзей на скамейке.

б) Сколько способов рассадить друзей, если двое из друзей, Таня и Дима, будут сидеть рядом?

Когда нам нужно, чтобы Таня и Дима сидели рядом, мы можем рассмотреть их как одну "единицу" или "блок". Таким образом, вместо 6 отдельных людей у нас будет 5 единиц: (Таня и Дима как блок) + 4 остальных друга.

1. Сначала найдем количество способов расположить 5 единиц: Это можно узнать с помощью факториала:

   \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

2. Теперь определим, сколько способов есть для различных перестановок внутри блока Тани и Димы. Таня и Дима могут сидеть в блоке друг напротив друга двумя способами: либо Таня слева, либо Дима слева. Это можно выразить как \( 2! \):

   \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

3. Теперь умножаем количество перестановок блоков на количество способов расположить внутри блока Тани и Димы:

   \[ 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \]

Таким образом, если Таня и Дима будут сидеть рядом, существует 240 способов рассадить друзей.