Шесть друзей случайным образом рассаживаются на скамейку. а) Сколько существует способов рассадки на скамейке, если на ней шесть мест? б) Сколько способов рассадить друзей, если двое из друзей, Таня и Дима, будут сидеть рядом?

Для решения задачи мы будем использовать комбинаторные методы. Давайте рассмотрим каждый пункт отдельно. ### а) Сколько существует способов рассадки на скамейке, если на ней шесть мест? Когда нам необходимо рассадить \( n \) человек на \( n \) мест, это задача, в которой мы можем использовать факториал. Факториал числа \( n \) обозначается как \( n! \) и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \). В данном случае, у нас 6 друзей, и мы хотим узнать, сколько существует способов рассадить их на 6 местах. Это будет вычисляться как \( 6! \). Вычислим \( 6! \): \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] Таким образом, существует **720 способов** рассадить шесть друзей на скамейке. ### б) Сколько способов рассадить друзей, если двое из друзей, Таня и Дима, будут сидеть рядом? Когда нам нужно, чтобы Таня и Дима сидели рядом, мы можем рассмотреть их как одну "единицу" или "блок". Таким образом, вместо 6 отдельных людей у нас будет 5 единиц: (Таня и Дима как блок) + 4 остальных друга. 1. **Сначала найдем количество способов расположить 5 единиц:** Это можно узнать с помощью факториала: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] 2. **Теперь определим, сколько способов есть для различных перестановок внутри блока Тани и Димы.** Таня и Дима могут сидеть в блоке друг напротив друга двумя способами: либо Таня слева, либо Дима слева. Это можно выразить как \( 2! \): \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] 3. **Теперь умножаем количество перестановок блоков на количество способов расположить внутри блока Тани и Димы:** \[ 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \] Таким образом, если Таня и Дима будут сидеть рядом, существует **240 способов** рассадить друзей.