Реши уравнение методом интервалов (х-7)(х+3) меньше либо равно 0

Чтобы решить неравенство \((x - 7)(x + 3) \leq 0\) методом интервалов, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем корни неравенства

Для начала определим, при каких значениях \(x\) выражение \((x - 7)(x + 3)\) будет равно нулю. Для этого решим уравнение:

\[ (x - 7)(x + 3) = 0 \]

Решая это уравнение, получаем два корня:

1. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
2. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Итак, наши корни: \(x = -3\) и \(x = 7\).

Шаг 2: Определим интервал

Корни разделяют числовую прямую на три интервала:

1. \((-∞, -3)\)
2. \((-3, 7)\)
3. \((7, +∞)\)

Шаг 3: Изучим знак выражения на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((x - 7)(x + 3)\) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем тестовую точку из каждого интервала.

1. Для интервала \((-∞, -3)\) возьмем точку \(x = -4\): \[ (x - 7)(x + 3) = (-4 - 7)(-4 + 3) = (-11)(-1) = 11 > 0 \] То есть, на этом интервале выражение положительно.

2. Для интервала \((-3, 7)\) возьмем точку \(x = 0\): \[ (x - 7)(x + 3) = (0 - 7)(0 + 3) = (-7)(3) = -21 < 0 \] Здесь выражение отрицательное.

3. Для интервала \((7, +∞)\) возьмем точку \(x = 8\): \[ (x - 7)(x + 3) = (8 - 7)(8 + 3) = (1)(11) = 11 > 0 \] На этом интервале выражение опять положительно.

Шаг 4: Проанализируем границы

Неравенство имеет знак "меньше или равно", следовательно, мы также должны учитывать точки, где выражение равно нулю, то есть \(x = -3\) и \(x = 7\). Поскольку в данных точках значение выражения равно нулю, они входят в наше решение.

Шаг 5: Запишем решение

С учетом найденных интервалов и границ, решение нашего неравенства \((x - 7)(x + 3) \leq 0\):

\[ x \in [-3, 7] \]

Ответ:

\[ \boxed{[-3, 7]} \]

Это означает, что значения \(x\) в диапазоне от \(-3\) до \(7\) включительно удовлетворяют данное неравенство.