Реши уравнение методом интервалов (х-7)(х+3) меньше либо равно 0

Чтобы решить неравенство \((x - 7)(x + 3) \leq 0\) методом интервалов, выполним следующие шаги: ### Шаг 1: Найдем корни неравенства Для начала определим, при каких значениях \(x\) выражение \((x - 7)(x + 3)\) будет равно нулю. Для этого решим уравнение: \[ (x - 7)(x + 3) = 0 \] Решая это уравнение, получаем два корня: 1. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\) 2. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) Итак, наши корни: \(x = -3\) и \(x = 7\). ### Шаг 2: Определим интервал Корни разделяют числовую прямую на три интервала: 1. \((-∞, -3)\) 2. \((-3, 7)\) 3. \((7, +∞)\) ### Шаг 3: Изучим знак выражения на каждом интервале Теперь проверим знак выражения \((x - 7)(x + 3)\) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем тестовую точку из каждого интервала. 1. Для интервала \((-∞, -3)\) возьмем точку \(x = -4\): \[ (x - 7)(x + 3) = (-4 - 7)(-4 + 3) = (-11)(-1) = 11 > 0 \] То есть, на этом интервале выражение положительно. 2. Для интервала \((-3, 7)\) возьмем точку \(x = 0\): \[ (x - 7)(x + 3) = (0 - 7)(0 + 3) = (-7)(3) = -21 < 0 \] Здесь выражение отрицательное. 3. Для интервала \((7, +∞)\) возьмем точку \(x = 8\): \[ (x - 7)(x + 3) = (8 - 7)(8 + 3) = (1)(11) = 11 > 0 \] На этом интервале выражение опять положительно. ### Шаг 4: Проанализируем границы Неравенство имеет знак "меньше или равно", следовательно, мы также должны учитывать точки, где выражение равно нулю, то есть \(x = -3\) и \(x = 7\). Поскольку в данных точках значение выражения равно нулю, они входят в наше решение. ### Шаг 5: Запишем решение С учетом найденных интервалов и границ, решение нашего неравенства \((x - 7)(x + 3) \leq 0\): \[ x \in [-3, 7] \] ### Ответ: \[ \boxed{[-3, 7]} \] Это означает, что значения \(x\) в диапазоне от \(-3\) до \(7\) включительно удовлетворяют данное неравенство.