вычисли
Для вычисления длины дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением \( r = 3 \cos \phi \), используем следующую формулу длины дуги:
\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left( \frac{dr}{d\phi} \right)^2 + r^2} \, d\phi \]
Определяем производную \(\frac{dr}{d\phi}\):
\[ r = 3\cos\phi \implies \frac{dr}{d\phi} = -3\sin\phi \]
Подставляем \( r \) и \(\frac{dr}{d\phi}\) в формулу длины дуги:
\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(-3\sin\phi)^2 + (3\cos\phi)^2} \, d\phi \]
\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{9\sin^2\phi + 9\cos^2\phi} \, d\phi \]
Упрощаем подкоренное выражение:
\[ \sqrt{9(\sin^2\phi + \cos^2\phi)} = \sqrt{9 \cdot 1} = 3 \]
Результирующий интеграл:
\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} 3 \, d\phi = 3\int_{\alpha}^{\beta} d\phi = 3[\phi]_{\alpha}^{\beta} = 3(\beta - \alpha) \]
Определяем пределы интегрирования \(\alpha\) и \(\beta\):
Из уравнения \( r = 3 \cos \phi \) видно, что кривая описывает окружность радиуса 3 с центром в \((1.5, 0)\) на оси \(x\). Полную окружность можно описать, изменяя \(\phi\) от 0 до \(\pi\).
Вычисляем длину дуги:
\[ L = 3(\pi - 0) = 3\pi \]
Таким образом, длина дуги кривой равна \(3\pi\).
