Какие интегралы сходятся, а какие расходятся

Чтобы определить, сходится интеграл или расходится, необходимо проанализировать поведение функции под интегралом на исследуемом интервале. Рассмотрим каждый из предложенных интегралов.

1. \( \int_1^{+\infty} \frac{\ln \frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}{x} \, dx \)

Проверим поведение функции под интегралом для больших \( x \):

1. Для больших \( x \), \( \frac{x^2 + 5}{x^2 + 2} \approx 1 \), поэтому \( \ln(1) = 0 \).
2. Чтобы более точно оценить, используем разложение \(\ln(1 + u) \approx u\), когда \( u \to 0 \): \[ \frac{x^2 + 5}{x^2 + 2} = 1 + \frac{3}{x^2 + 2} \] \[ \ln\left(\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}\right) \approx \frac{3}{x^2 + 2} \]
3. Замена в интеграле: \[ \int_1^{+\infty} \frac{\frac{3}{x^2 + 2}}{x} \, dx = \int_1^{+\infty} \frac{3}{x(x^2 + 2)} \, dx \]
4. Интеграл можно оценить, сравнив с \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} \, dx\), который сходится. Значит, исходный интеграл также сходится.

2. \( \int_0^1 \frac{x^2 + \cos 2x}{x} \, dx \)

Рассмотрим поведение под интегралом в нуле:

1. \(\cos 2x\) ограничена и ведет себя как постоянная при \( x \to 0 \).
2. Вблизи нуля \( \frac{x^2 + \cos 2x}{x} \approx \frac{1}{x} \), что похоже на \(\int_0^1 \frac{1}{x} \, dx\), который расходится.

Таким образом, интеграл расходится.

3. \( \int_5^{+\infty} \frac{\arcsin \frac{1}{\sqrt{4x - 1}}}{x} \, dx \)

Рассмотрим асимптотику функции:

1. Для больших \( x \), \(\frac{1}{\sqrt{4x-1}}\) уменьшается и \(\arcsin u \approx u\) для малых \( u \). \[ \arcsin \frac{1}{\sqrt{4x - 1}} \approx \frac{1}{\sqrt{4x - 1}} \]
2. Интеграл: \[ \int_5^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{4x - 1}} \, dx \]
3. Ведет себя как \(\int_5^{+\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\), который сходится.

Таким образом, интеграл сходится.

4. \( \int_5^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)}} \, dx \)

Рассмотрим поведение функции под интегралом при больших \( x \):

1. При больших \( x \), \((x-1)(x-2)(x-3) \approx x^3\), следовательно, \[ \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \approx x^{3/4} \]
2. Интеграл становится: \[ \int_5^{+\infty} \frac{1}{x^{3/4}} \, dx \]
3. Приводится к \(\int_5^{+\infty} x^{-3/4} \, dx\), расходится.

Исходя из этого, последний интеграл расходится.

Резюме

1. Сходится.
2. Расходится.
3. Сходится.
4. Расходится.