Для решения этой задачи мы будем использовать понятия из теории вероятностей, в частности, дисперсию случайной величины.
Шаг 1: Определение случайной величины
Случайная величина ( X ) — это количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков. В нашем случае бинарные исходы будут:
- ( X = 0 ) (оба пирожка не с повидлом),
- ( X = 1 ) (один пирожок с повидлом, один без),
- ( X = 2 ) (оба пирожка с повидлом).
Шаг 2: Подсчет всех возможных исходов
Общее количество пирожков: 21 (из них 7 с повидлом и 14 без повидла).
Шаг 3: Вероятности для каждого значения случайной величины
Вероятность ( X = 0 ):
[
P(X = 0) = \frac{\text{число способов выбрать 2 пирожка без повидла}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{91}{210}
]
Вероятность ( X = 1 ):
[
P(X = 1) = \frac{\text{число способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}} = \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210}
]
Вероятность ( X = 2 ):
[
P(X = 2) = \frac{\text{число способов выбрать 2 пирожка с повидлом}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{21}{210}
]
Шаг 4: Подсчет вероятностей
Итак, у нас есть следующие вероятности:
- ( P(X = 0) = \frac{91}{210} )
- ( P(X = 1) = \frac{98}{210} )
- ( P(X = 2) = \frac{21}{210} )
Шаг 5: Подсчет математического ожидания ( E(X) )
[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3}
]
Шаг 6: Подсчет дисперсии ( D(X) )
Для дисперсии используем формулу:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X^2) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{91}{105}
]
Теперь можем найти дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{105} - \left(\frac{2}{3}\right)^2
]
[
\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} = \frac{28}{63} = \frac{84}{105}
]
[
D(X) = \frac{91}{105} - \frac{84}{105} = \frac{7}{105} = \frac{1}{15}
]
Ответ
Дисперсия случайной величины ( X ) равна ( \frac{1}{15} ).
