Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 21 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения этой задачи мы будем использовать понятия из теории вероятностей, в частности, дисперсию случайной величины.

Шаг 1: Определение случайной величины

Случайная величина \( X \) — это количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков. В нашем случае бинарные исходы будут:

• \( X = 0 \) (оба пирожка не с повидлом),
• \( X = 1 \) (один пирожок с повидлом, один без),
• \( X = 2 \) (оба пирожка с повидлом).

Шаг 2: Подсчет всех возможных исходов

Общее количество пирожков: 21 (из них 7 с повидлом и 14 без повидла).

Шаг 3: Вероятности для каждого значения случайной величины

1. Вероятность \( X = 0 \): \[ P(X = 0) = \frac{\text{число способов выбрать 2 пирожка без повидла}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{91}{210} \]

2. Вероятность \( X = 1 \): \[ P(X = 1) = \frac{\text{число способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}} = \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210} \]

3. Вероятность \( X = 2 \): \[ P(X = 2) = \frac{\text{число способов выбрать 2 пирожка с повидлом}}{\text{все способы выбрать 2 пирожка}} = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{21}{210} \]

Шаг 4: Подсчет вероятностей

Итак, у нас есть следующие вероятности:

• \( P(X = 0) = \frac{91}{210} \)
• \( P(X = 1) = \frac{98}{210} \)
• \( P(X = 2) = \frac{21}{210} \)

Шаг 5: Подсчет математического ожидания \( E(X) \)

\[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \]

Шаг 6: Подсчет дисперсии \( D(X) \)

Для дисперсии используем формулу: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{91}{105} \]

Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{105} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} = \frac{28}{63} = \frac{84}{105} \] \[ D(X) = \frac{91}{105} - \frac{84}{105} = \frac{7}{105} = \frac{1}{15} \]

Ответ

Дисперсия случайной величины \( X \) равна \( \frac{1}{15} \).