Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 21 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения данной задачи начнем с определения понятий, а затем перейдем к расчетам.

Параметры задачи

• Всего пирожков: \(21\)
• Пирожков с повидлом: \(7\)
• Пирожков без повидла: \(21 - 7 = 14\)

Мы рассматриваем случайную величину \(X\), которая обозначает количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных.

Шаг 1: Определим возможные значения случайной величины \(X\)

Когда мы выбираем 2 пирожка, возможные значения для \(X\) — это числа \(0\), \(1\) и \(2\):

• \(X = 0\): оба выбраны пирожки без повидла.
• \(X = 1\): один пирожок с повидлом и один без.
• \(X = 2\): оба выбраны пирожки с повидлом.

Шаг 2: Найдем вероятности для каждого значения \(X\)

1. \(P(X = 0)\)

Для этого события нужно выбрать 2 пирожка без повидла:

\[ P(X = 0) = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}} \]

Где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, который считает количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\).

Вычислим:

\[ \binom{14}{2} = \frac{14 \times 13}{2} = 91 \]

\[ \binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210 \]

Считаем вероятность:

\[ P(X = 0) = \frac{91}{210} \]

2. \(P(X = 1)\)

Для этого события нужно выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без повидла:

\[ P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}} \]

Вычислим:

\[ \binom{7}{1} = 7 \]

\[ \binom{14}{1} = 14 \]

Теперь:

\[ P(X = 1) = \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210} \]

3. \(P(X = 2)\)

Для этого события нужно выбрать 2 пирожка с повидлом:

\[ P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}} \]

Вычислим:

\[ \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \]

Итак, вероятность:

\[ P(X = 2) = \frac{21}{210} \]

Шаг 3: Суммируем вероятности

Теперь проверим, что все вероятности в сумме дают 1.

\[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{91}{210} + \frac{98}{210} + \frac{21}{210} = \frac{210}{210} = 1 \]

Шаг 4: Найдем математическое ожидание \(E(X)\)

Теперь нам нужно найти математическое ожидание:

\[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \]

Подставим и посчитаем:

\[ E(X) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \]

Шаг 5: Найдем дисперсию \(D(X)\)

Дисперсия определяется как:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \]

\[ E(X^2) = 0 + \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{13}{15} \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = \frac{13}{15} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]

\[ D(X) = \frac{13}{15} - \frac{4}{9} \]

Приведем к общему знаменателю:

Знаменатель 15 и 9 — наименьшее общее кратное 45:

\[ D(X) = \frac{13 \cdot 3}{45} - \frac{4 \cdot 5}{45} = \frac{39}{45} - \frac{20}{45} = \frac{19}{45} \]

Ответ

Дисперсия случайной величины \(X\) составляет \(\frac{19}{45}\).