Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 21 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди дисперсию случайной величины Х.

Для решения данной задачи начнем с определения понятий, а затем перейдем к расчетам. ### Параметры задачи - Всего пирожков: \(21\) - Пирожков с повидлом: \(7\) - Пирожков без повидла: \(21 - 7 = 14\) Мы рассматриваем случайную величину \(X\), которая обозначает количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. ### Шаг 1: Определим возможные значения случайной величины \(X\) Когда мы выбираем 2 пирожка, возможные значения для \(X\) — это числа \(0\), \(1\) и \(2\): - \(X = 0\): оба выбраны пирожки без повидла. - \(X = 1\): один пирожок с повидлом и один без. - \(X = 2\): оба выбраны пирожки с повидлом. ### Шаг 2: Найдем вероятности для каждого значения \(X\) #### 1. \(P(X = 0)\) Для этого события нужно выбрать 2 пирожка без повидла: \[ P(X = 0) = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}} \] Где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, который считает количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\). Вычислим: \[ \binom{14}{2} = \frac{14 \times 13}{2} = 91 \] \[ \binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210 \] Считаем вероятность: \[ P(X = 0) = \frac{91}{210} \] #### 2. \(P(X = 1)\) Для этого события нужно выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без повидла: \[ P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}} \] Вычислим: \[ \binom{7}{1} = 7 \] \[ \binom{14}{1} = 14 \] Теперь: \[ P(X = 1) = \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210} \] #### 3. \(P(X = 2)\) Для этого события нужно выбрать 2 пирожка с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}} \] Вычислим: \[ \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \] Итак, вероятность: \[ P(X = 2) = \frac{21}{210} \] ### Шаг 3: Суммируем вероятности Теперь проверим, что все вероятности в сумме дают 1. \[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{91}{210} + \frac{98}{210} + \frac{21}{210} = \frac{210}{210} = 1 \] ### Шаг 4: Найдем математическое ожидание \(E(X)\) Теперь нам нужно найти математическое ожидание: \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] Подставим и посчитаем: \[ E(X) = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \] ### Шаг 5: Найдем дисперсию \(D(X)\) Дисперсия определяется как: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 + \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210} = \frac{98}{210} + \frac{84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{13}{15} \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = \frac{13}{15} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[ D(X) = \frac{13}{15} - \frac{4}{9} \] Приведем к общему знаменателю: Знаменатель 15 и 9 — наименьшее общее кратное 45: \[ D(X) = \frac{13 \cdot 3}{45} - \frac{4 \cdot 5}{45} = \frac{39}{45} - \frac{20}{45} = \frac{19}{45} \] ### Ответ Дисперсия случайной величины \(X\) составляет \(\frac{19}{45}\).