Для решения задачи рассчитаем дисперсию случайной величины (X), представляющей собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных из общего количества пирожков.
Шаг 1: Определение случайной величины
Сначала определим обозначения:
- Общее количество пирожков (N = 21)
- Количество пирожков с повидлом (k = 7)
- Количество пирожков без повидла (N - k = 21 - 7 = 14)
Случайная величина (X) может принимать значения 0, 1 или 2:
- (X = 0) означает, что оба выбранных пирожка без повидла.
- (X = 1) означает, что один пирожок с повидлом, а другой без повидла.
- (X = 2) означает, что оба пирожка с повидлом.
Шаг 2: Вероятности
Теперь найдем вероятности для каждого значения (X):
Для (X = 0) (оба пирожка без повидла):
[
P(X = 0) = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}}
]
[
= \frac{91}{210} \approx 0.4333
]
Для (X = 1) (один пирожок с повидлом, другой без):
[
P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}}
]
[
= \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210} \approx 0.4667
]
Для (X = 2) (оба пирожка с повидлом):
[
P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}}
]
[
= \frac{21}{210} = \frac{1}{10} = 0.1
]
Шаг 3: Математическое ожидание
Теперь найдем математическое ожидание (E(X)):
[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)
]
[
= 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210}
]
[
= \frac{98 + 42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \approx 0.6667
]
Шаг 4: Дисперсия
Теперь найдем дисперсию (D(X)) по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2)
]
[
= 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210}
]
[
= \frac{98 + 84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{91}{105} \approx 0.8667
]
Теперь используем найденные значения для расчета дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
[
= \frac{91}{105} - \left(\frac{2}{3}\right)^2
]
[
= \frac{91}{105} - \frac{4}{9}
]
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю:
[
D(X) = \frac{91 \cdot 3}{315} - \frac{4 \cdot 35}{315} = \frac{273 - 140}{315} = \frac{133}{315}
]
Ответ
Таким образом, дисперсия случайной величины (X) равна:
[
D(X) \approx 0.4222
]
Это даст окончательное решение, которое вы можете использовать для понимания дисперсии и вероятностей.
