Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 21 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения задачи рассчитаем дисперсию случайной величины \(X\), представляющей собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных из общего количества пирожков.

Шаг 1: Определение случайной величины

Сначала определим обозначения:

• Общее количество пирожков \(N = 21\)
• Количество пирожков с повидлом \(k = 7\)
• Количество пирожков без повидла \(N - k = 21 - 7 = 14\)

Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1 или 2:

• \(X = 0\) означает, что оба выбранных пирожка без повидла.
• \(X = 1\) означает, что один пирожок с повидлом, а другой без повидла.
• \(X = 2\) означает, что оба пирожка с повидлом.

Шаг 2: Вероятности

Теперь найдем вероятности для каждого значения \(X\):

1. Для \(X = 0\) (оба пирожка без повидла): \[ P(X = 0) = \frac{\binom{14}{2}}{\binom{21}{2}} \] \[ = \frac{91}{210} \approx 0.4333 \]

2. Для \(X = 1\) (один пирожок с повидлом, другой без): \[ P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{14}{1}}{\binom{21}{2}} \] \[ = \frac{7 \cdot 14}{210} = \frac{98}{210} \approx 0.4667 \]

3. Для \(X = 2\) (оба пирожка с повидлом): \[ P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{21}{2}} \] \[ = \frac{21}{210} = \frac{1}{10} = 0.1 \]

Шаг 3: Математическое ожидание

Теперь найдем математическое ожидание \(E(X)\): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 2 \cdot \frac{21}{210} \] \[ = \frac{98 + 42}{210} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \]

Шаг 4: Дисперсия

Теперь найдем дисперсию \(D(X)\) по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ = 0 \cdot \frac{91}{210} + 1 \cdot \frac{98}{210} + 4 \cdot \frac{21}{210} \] \[ = \frac{98 + 84}{210} = \frac{182}{210} = \frac{91}{105} \approx 0.8667 \]

Теперь используем найденные значения для расчета дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ = \frac{91}{105} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[ = \frac{91}{105} - \frac{4}{9} \] Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю: \[ D(X) = \frac{91 \cdot 3}{315} - \frac{4 \cdot 35}{315} = \frac{273 - 140}{315} = \frac{133}{315} \]

Ответ

Таким образом, дисперсия случайной величины \(X\) равна: \[ D(X) \approx 0.4222 \]

Это даст окончательное решение, которое вы можете использовать для понимания дисперсии и вероятностей.