Реши

Для этой задачи требуется найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к заданной поверхности в точке \( M(1, \pi, \frac{1}{e}) \). **Шаги решения:** 1. **Найдем производные функции \( z = e^x \cos y \):** - Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^x \cos y \] - Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -e^x \sin y \] 2. **Подставим координаты точки \( M(1, \pi, \frac{1}{e}) \) в производные:** - \( \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,\pi)} = e^1 \cos \pi = -e \) - \( \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,\pi)} = -e^1 \sin \pi = 0 \) 3. **Уравнение касательной плоскости:** Уравнение касательной плоскости в точке \( M(x_0, y_0, z_0) \) имеет вид: \[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_0, y_0)} (x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x_0, y_0)} (y - y_0) \] Подставим известные значения: \[ z - \frac{1}{e} = -e(x - 1) + 0(y - \pi) \] Преобразуем уравнение: \[ z = -ex + e + \frac{1}{e} \] 4. **Коэффициенты уравнения плоскости:** Уравнение плоскости можно записать в общем виде: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] Для нашей плоскости: \[ -ex + 0 \cdot y + z - \left(e + \frac{1}{e}\right) = 0 \] Таким образом, \( A = -e \), \( B = 0 \), \( C = 1 \), \( D = -(e + \frac{1}{e}) \). 5. **Расстояние от точки до плоскости:** Формула расстояния от точки \( (x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Подставим значения для начала координат \( (0, 0, 0) \): \[ d = \frac{|(-e) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - (e + \frac{1}{e})|}{\sqrt{(-e)^2 + 0^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|-(e + \frac{1}{e})|}{\sqrt{e^2 + 1}} \] \[ d = \frac{e + \frac{1}{e}}{\sqrt{e^2 + 1}} \] 6. **Вычисление численного значения:** Используя калькулятор: \[ e \approx 2.71828 \] Вычислим: \[ \text{Числитель: } \quad e + \frac{1}{e} \approx 2.71828 + \frac{1}{2.71828} \approx 2.71828 + 0.36788 = 3.08616 \] \[ \text{Знаменатель: } \quad \sqrt{e^2 + 1} \approx \sqrt{7.38905 + 1} = \sqrt{8.38905} \approx 2.89693 \] \[ d \approx \frac{3.08616}{2.89693} \approx 1.0650 \] Таким образом, расстояние от начала координат до касательной плоскости: \( 1.0650 \), не округлено до пятого знака после запятой.