реши
Для этой задачи требуется найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к заданной поверхности в точке \( M(1, \pi, \frac{1}{e}) \).
Шаги решения:
Найдем производные функции \( z = e^x \cos y \):
Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^x \cos y \]
Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -e^x \sin y \]
Подставим координаты точки \( M(1, \pi, \frac{1}{e}) \) в производные:
- \( \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,\pi)} = e^1 \cos \pi = -e \)
- \( \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,\pi)} = -e^1 \sin \pi = 0 \)
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение касательной плоскости в точке \( M(x_0, y_0, z_0) \) имеет вид:
\[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_0, y_0)} (x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x_0, y_0)} (y - y_0) \]
Подставим известные значения:
\[ z - \frac{1}{e} = -e(x - 1) + 0(y - \pi) \]
Преобразуем уравнение:
\[ z = -ex + e + \frac{1}{e} \]
Коэффициенты уравнения плоскости:
Уравнение плоскости можно записать в общем виде:
\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]
Для нашей плоскости:
\[ -ex + 0 \cdot y + z - \left(e + \frac{1}{e}\right) = 0 \]
Таким образом, \( A = -e \), \( B = 0 \), \( C = 1 \), \( D = -(e + \frac{1}{e}) \).
Расстояние от точки до плоскости:
Формула расстояния от точки \( (x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
Подставим значения для начала координат \( (0, 0, 0) \):
\[ d = \frac{|(-e) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - (e + \frac{1}{e})|}{\sqrt{(-e)^2 + 0^2 + 1^2}} \]
\[ d = \frac{|-(e + \frac{1}{e})|}{\sqrt{e^2 + 1}} \]
\[ d = \frac{e + \frac{1}{e}}{\sqrt{e^2 + 1}} \]
Вычисление численного значения:
Используя калькулятор:
\[ e \approx 2.71828 \]
Вычислим:
\[ \text{Числитель: } \quad e + \frac{1}{e} \approx 2.71828 + \frac{1}{2.71828} \approx 2.71828 + 0.36788 = 3.08616 \]
\[ \text{Знаменатель: } \quad \sqrt{e^2 + 1} \approx \sqrt{7.38905 + 1} = \sqrt{8.38905} \approx 2.89693 \]
\[ d \approx \frac{3.08616}{2.89693} \approx 1.0650 \]
Таким образом, расстояние от начала координат до касательной плоскости: \( 1.0650 \), не округлено до пятого знака после запятой.
