реши
Для того чтобы разобраться с задачей, мы шаг за шагом рассмотрим решение:
Функция и направление:
Задача связана с понятием производной функции по направлению. У нас дана функция \( f = x^2 + y^2 \), и мы должны найти её производную в точке \((1, 1, 2)\) по направлению вектора \(\overrightarrow{MN}\), где \( M = (1, 1, 2) \) и \( N = (-1, 1, 3) \).Вычисление вектора направления:
Вектор \(\overrightarrow{MN}\) можно найти, как разность координат точек \(N\) и \(M\):\[ \overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y, N_z - M_z) = (-1 - 1, 1 - 1, 3 - 2) = (-2, 0, 1) \]
Нормализация вектора:
Для нахождения производной по направлению нам нужен единичный вектор \(\overrightarrow{u}\). Сначала находим длину вектора \(\overrightarrow{MN}\):\[ \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \]
Теперь находим единичный вектор \(\overrightarrow{u}\):
\[ \overrightarrow{u} = \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{0}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \]
Градиент функции \(f\):
Для функции \(f(x, y, z) = x^2 + y^2\) градиент \(\nabla f\) равен:\[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = (2x, 2y, 0) \]
В точке \( (1, 1, 2) \) градиент будет:
\[ \nabla f (1, 1, 2) = (2 \times 1, 2 \times 1, 0) = (2, 2, 0) \]
Производная по направлению:
Производная функции по направлению \(\overrightarrow{u}\) в точке \((1, 1, 2)\) рассчитывается как скалярное произведение градиента функции и единичного вектора направления:\[ D_{\overrightarrow{u}} f = \nabla f \cdot \overrightarrow{u} = (2, 2, 0) \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{0}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \]
\[ D_{\overrightarrow{u}} f = 2 \times \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}\right) + 2 \times \left(\frac{0}{\sqrt{5}}\right) + 0 \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{-4}{\sqrt{5}} \]
Результат:
Производная функции \(f\) в заданной точке по направлению вектора \(\overrightarrow{MN}\) равна \(-\frac{4}{\sqrt{5}}\).
Это значение нужно округлить, если требуется, согласно условиям задачи (например, до указанного количества знаков после запятой).
