Реши

Для того чтобы разобраться с задачей, мы шаг за шагом рассмотрим решение: 1. **Функция и направление:** Задача связана с понятием производной функции по направлению. У нас дана функция \( f = x^2 + y^2 \), и мы должны найти её производную в точке \((1, 1, 2)\) по направлению вектора \(\overrightarrow{MN}\), где \( M = (1, 1, 2) \) и \( N = (-1, 1, 3) \). 2. **Вычисление вектора направления:** Вектор \(\overrightarrow{MN}\) можно найти, как разность координат точек \(N\) и \(M\): \[ \overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y, N_z - M_z) = (-1 - 1, 1 - 1, 3 - 2) = (-2, 0, 1) \] 3. **Нормализация вектора:** Для нахождения производной по направлению нам нужен единичный вектор \(\overrightarrow{u}\). Сначала находим длину вектора \(\overrightarrow{MN}\): \[ \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] Теперь находим единичный вектор \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{0}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] 4. **Градиент функции \(f\):** Для функции \(f(x, y, z) = x^2 + y^2\) градиент \(\nabla f\) равен: \[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = (2x, 2y, 0) \] В точке \( (1, 1, 2) \) градиент будет: \[ \nabla f (1, 1, 2) = (2 \times 1, 2 \times 1, 0) = (2, 2, 0) \] 5. **Производная по направлению:** Производная функции по направлению \(\overrightarrow{u}\) в точке \((1, 1, 2)\) рассчитывается как скалярное произведение градиента функции и единичного вектора направления: \[ D_{\overrightarrow{u}} f = \nabla f \cdot \overrightarrow{u} = (2, 2, 0) \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{0}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] \[ D_{\overrightarrow{u}} f = 2 \times \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}\right) + 2 \times \left(\frac{0}{\sqrt{5}}\right) + 0 \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{-4}{\sqrt{5}} \] 6. **Результат:** Производная функции \(f\) в заданной точке по направлению вектора \(\overrightarrow{MN}\) равна \(-\frac{4}{\sqrt{5}}\). Это значение нужно округлить, если требуется, согласно условиям задачи (например, до указанного количества знаков после запятой).