реши
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Задача:
Найдите вектор, в направлении которого функция \( z = \arctan \frac{y}{x} \) быстрее всего убывает в точке \( A(1, 1) \). В ответ введите первый направляющий косинус (его величину вычислите на калькуляторе, введите в виде десятичной дроби с запятой после целой части, оставив пять знаков после запятой).
Шаг 1: Найдите градиент функции
Функция задана как \( z = \arctan \frac{y}{x} \).
Градиент векторной функции найдём используя частные производные:
- Найдите частную производную по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \arctan \frac{y}{x} \right) \]
Используем производную функции \( \arctan(u) \), где \( u = \frac{y}{x} \).
\[ \frac{d}{dx} \left( \arctan(u) \right) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]
Для \( u = \frac{y}{x} \), \(\frac{du}{dx} = -\frac{y}{x^2}\).
Таким образом,
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2 + y^2} \]
- Найдите частную производную по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \arctan \frac{y}{x} \right) \]
Для \( u = \frac{y}{x} \), \(\frac{du}{dy} = \frac{1}{x}\).
Таким образом,
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2} \]
Шаг 2: Градиент в точке \( A(1, 1) \)
Подставим \( x = 1 \) и \( y = 1 \) в найденные формулы:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(1,1)} = -\frac{1}{1^2 + 1^2} = -\frac{1}{2} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(1,1)} = \frac{1}{1^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \]
Градиент функции \( \nabla z \) в точке \( A(1, 1) \) равен:
\[ \nabla z = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \]
Шаг 3: Нахождение вектора убывания
Вектор, в направлении которого функция убывает быстрее всего, противоположен градиенту. Этот вектор:
\[ -\nabla z = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) \]
Шаг 4: Нахождение направляющего косинуса
Найдем длину этого вектора:
\[ \|\nabla z\| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Направляющий косинус для координаты \( x \) равен:
\[ \cos \alpha_x = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0{,}70711 \]
Итак, первый направляющий косинус равен \( 0{,}70711 \).
