Треугольник АВС прямоугольный, с прямым углом В. угол A = 30, BD-высота., CD = 5 см. Найдите длину отрезка AD.
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и некоторые тригонометрические соотношения.
Шаг 1: Изучим данные задачи
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где:
- Угол B равен 90 градусам.
- Угол A равен 30 градусам.
- CD — это отрезок высоты, который равен 5 см.
Сначала определим угол C:
- Угол C = 90° - угол A = 90° - 30° = 60°.
Шаг 2: Используем свойства треугольников
- В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° соотношения сторон известны:
- Противолежащая сторона к углу 30° (BC) равна половине гипотенузы (AB).
- Противолежащая сторона к углу 60° (AC) равна √3/2 от гипотенузы.
Так как точка D — это основание высоты, проведенной из вершины B на сторону AC, мы можем использовать некоторые отношения.
Шаг 3: Находим длину стороны AC
Длина высоты BD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: BDC и ABD. В треугольнике BDC:
- Угол BDC = угол C = 60°.
- Угол DBC = угол B = 90°.
- Угол BDA = угол A = 30°.
Применяем тригонометрию в треугольнике BDC:
- Отношение противолежащей и прилежащей сторон: \[ \tan(60°) = \frac{BC}{CD} \] Подставляем известные значения: \[ \tan(60°) = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad CD = 5\,см \] Тогда \[ \sqrt{3} = \frac{BC}{5} \] Отсюда: \[ BC = 5\sqrt{3}\,см \]
Шаг 4: Найдите длину стороны AB (гипотенуза)
Используя свойства 30-60-90 треугольника, ведь BC противолежащая ему сторона и равна \( 5\sqrt{3} \, см\): \[ AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} \, см. \]
Шаг 5: Находим отрезок AD
Теперь используя весь треугольник ABC, мы можем найти бедро AD: \[ AD = AC - CD. \] Зная, что: \[ AC = BC \cdot \sqrt{3} = (5 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 15 \, см. \]
Подставляем: \[ AD = AC - CD = 15 - 5 = 10 \, см. \]
Ответ
Таким образом, длина отрезка AD равна 10 см.
